Mechanik

Einfache Maschinen

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Hebebühne

Aufgabe

hebebühne.jpg
Abb.
1
Hebebühne in einer KFZ-Werkstatt

Bei einer hydraulischen Hebebühne hat der Hubkolben die hundertfache Fläche des kleinen Kolbens.

a)Berechne den Betrag der Kraft, die auf den kleinen Kolben ausgeübt werden muss, damit am Hubkolben eine Kraft vom Betrag \(12\,\rm{kN}\) wirkt.

b)Berechne die maximale Masse, die ein Körper höchstens haben darf, wenn er mit dieser Hebebühne gehoben werden soll und dabei am kleinen Kolben eine Kraft vom Betrag \(0{,}12\,\rm{kN}\) angreift.

c)Der Hubkolben soll um \(10\,\rm{cm}\) gehoben werden.

Berechne, um welche Strecke dabei der kleine Kolben bewegt werden müsste.

d)Die in Aufgabenteil c) berechnete Bewegung des kleinen Kolbens ist nicht möglich.

Erläutere, wie man in der Praxis vorgehen kann, um den Hubkolben dennoch um die angegebene Strecke anheben zu können.

Lösung

Wir benutzen die Kürzel "KK" für den kleinen Kolben und "HK" für den Hubkolben.

a)Da der Druck in der Flüssigkeit überall gleich groß ist, gilt\[{p_{{\rm{KK}}}} = {p_{{\rm{HK}}}} \Leftrightarrow \frac{{{F_{{\rm{KK}}}}}}{{{A_{{\rm{KK}}}}}} = \frac{{{F_{{\rm{HK}}}}}}{{{A_{{\rm{HK}}}}}} \Leftrightarrow \frac{{{F_{{\rm{KK}}}}}}{{{F_{{\rm{HK}}}}}} = \frac{{{A_{{\rm{KK}}}}}}{{{A_{{\rm{HK}}}}}}\]Da der Hubkolben eine hundertmal so große Fläche wie der kleine Kolben besitzen soll, gilt\[\frac{{{F_{{\rm{KK}}}}}}{{{F_{{\rm{HK}}}}}} = \frac{1}{{100}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{KK}}}} = \frac{1}{{100}} \cdot {F_{{\rm{HK}}}} \Rightarrow {F_{{\rm{KK}}}} = \frac{1}{{100}} \cdot 12\,{\rm{kN}} = 0{,}12\,{\rm{kN}}\]

b)Aus Teilaufgabe a) weiß man, dass eine Kraft vom Betrag \({F_{{\rm{KK}}}} = 0{,}12\,{\rm{kN}}\) am kleinen Kolben eine Kraft vom Betrag \({F_{{\rm{HK}}}} = 12\,{\rm{kN}}\) am Hubkolben bewirkt. Man muss also die Masse eines Körpers berechnen, dessen Gewichtskraft den Betrag \(F_{\rm{G}}=12\,\rm{kN}\) beträgt:\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g \Leftrightarrow m = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{g} \Rightarrow m = \frac{{12 \cdot {{10}^3}{\kern 1pt} {\rm{N}}}}{{10\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 1{,}2 \cdot {10^2}{\kern 1pt} {\rm{kg}} = 0{,}12{\kern 1pt} {\rm{t}}\]

c)Wenn der Hubkolben um \(10\,\rm{cm}\) nach oben geht muss Flüssigkeit mit dem Volumen \(V = 10\,{\rm{cm}} \cdot {A_{{\rm{HK}}}}\) verschoben werden. Wie weit müsste der kleine Kolben verschoben werden, damit Flüssigkeit vom Volumen \(V\) vom Bereich des kleinen Kolbens in den Bereich des großen Kolbens schieben kann? Da sich die Flächen der Kolben wie \(1:100\) verhalten, müsste der kleine Kolben \(100 \cdot 10\,{\rm{cm }} = 10\,{\rm{m}}\) in die Flüssigkeit hineingedrückt werden. Dies würde eine Hebebühne mit riesigen Ausmaßen bedeuten.

d)In der Praxis verfährt man wie folgt: Man lässt den kleinen Kolben diese lange Strecke nicht in einem Stück durchlaufen. Durch einen Nachfüllbehälter und mit entsprechend gestalteten Ventilen gelingt es, die große Strecke in viele kleine Strecken aufzuteilen, die dann der kleine Kolben durchläuft.