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Aufgabe

Auftrieb einer Steinplatte

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine quadratische Steinplatte von der Kantenlänge 40 cm und der Dicke 5,0 cm wird auf zwei unterschiedliche Arten unter Wasser festgehalten.

Fall a): So, dass sich die obere der quadratischen Flächen parallel zum Wasserspiegel in einer Tiefe von \(10\,\rm{cm}\) befindet.

Fall b): So, dass sich die obere der schmalen Seitenflächen parallel zum Wasserspiegel in einer Tiefe von \(10\,\rm{cm}\) befindet.

a)Berechne in beiden Lagen den Schweredruck sowie die Kräfte, welche an den beiden zum Wasserspiegel parallelen Flächen der Platte auftreten!

b)Zeige, dass dadurch der Satz von Archimedes bestätigt wird.

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Fall a): Der Druck von oben beträgt: \[p_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\] Für die Kraft von oben gilt: \[F_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\] Der Druck von unten beträgt: \[p_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 15\,\rm{cm}\] Für die Kraft von unten gilt: \[F_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 15\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\] Damit folgt für die Auftriebskraft \(F_A=F_u-F_o\): \[F_A=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 15\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2-\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 5\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\]

Fall b): Der Druck von oben beträgt: \[p_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\] Für die Kraft von oben gilt: \[F_o=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}\] Der Druck von unten beträgt: \[p_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 50\,\rm{cm}\] Für die Kraft von unten gilt: \[F_u=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 50\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}\] Damit folgt für die Auftriebskraft \(F_A=F_u-F_o\): \[F_A=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 50\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}-\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 10\,\rm{cm}\cdot 5\,\rm{cm}\cdot 40\,\rm{cm}=\rho_{\rm{W}}\cdot g \cdot 5\,\rm{cm}\cdot\left(40\,\rm{cm}\right)^2\]

b)Die Ergebnisse für beide Fälle sind gleich: Der Satz des Archimedes, dass der Auftrieb genau so groß ist wie die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit stimmt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe