Schweredruck
Als Schweredruck (hydrostatischer Druck) bezeichnet man einen Druck, den ein Körper nur auf Grund der Gewichtskraft der über ihm liegenden Flüssigkeits- oder Gassäule erfährt. Als Folge des Schweredrucks von Flüssigkeiten und Gasen erfahren Körper in diesen Flüssigkeiten und Gasen eine Auftriebskraft \(F_A\).
Dabei gilt
Die Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit bzw. dem Gewicht des verdrängten Gases.
Herleitung
- Im linken Bild (Abb. 1) sind an den Rändern des Körpers kleine Testflächen markiert und die darauf einwirkenden Druckkräfte durch Pfeile charakterisiert.
- Man sieht, dass sich die seitlichen Druckkräfte aufheben, dagegen sind die von unten wirkenden Druckkräfte größer als die von oben wirkenden Druckkräfte.
- Im rechten Bild (Abb. 2) sind die von unten wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec {F_u} \) und die von oben wirkenden Teildruckkräfte zu einer Kraft \(\vec{F_o} \) zusammengefasst.
- Für den Betrag der Auftriebskraft \(F_A\) gilt:
\[F_A = F_u-F_o\]
- Der betrachtete Körper soll oben und unten die gleiche Fläche \(A\) haben. An der Oberseite herrsche der Druck \(p_o\), an der Unterseite der Druck \(p_u\). Dann gilt:
\[F_A = p_u \cdot A-p_o \cdot A \]
\[F_A = A \ (p_u-p_o)\]
- Unter Verwendung der Formel für den Gewichtsdruck \(p = \rho \cdot g \cdot h\) gilt dann \[F_A = A \cdot (\rho \cdot g \cdot h_u - \rho \cdot g \cdot h_o)\] wobei \(\rho\) die Dichte der Flüssigkeit bzw. des Gases, in der bzw. dem sich der Körper befindet. Ausklammern von \(\rho\) und \(g\) führt zu
\[F_A = A \cdot \rho \cdot g \cdot (h_u - h_o)\]
\[F_A = A \cdot h \cdot \rho \cdot g\]
Da aber das Produkt \(A\cdot h\) gerade das Volumen \(V\) des Körpers ist, gilt:
\[F_A = \rho \cdot V \cdot g\]
Das Produkt aus Dichte der Flüssigkeit und des Volumens ergibt aber gerade die Masse \(m\) der verdrängten Flüssigkeit:\[F_A = m \cdot g\] Die Multiplikation mit dem Ortsfaktor \(g\) liefert schließlich die Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit bzw. des verdrängten Gases \[F_A = F_{\rm{g, Flüssigkeit}}\; \text{oder} \; F_A = F_{\rm{g,Gas}}\]
Formel für die Auftriebskraft
\[F_A = \rho\cdot V \cdot g\]oder\[F_A = F_{g, Flüssigkeit}\; \text{oder} \; F_A = F_{g,Gas}\]
Mathematische Hilfen
Um Aufgaben zur Auftriebskraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{\rm{A}}} = \rho \cdot V \cdot g\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g} = {F_{\rm{A}}}\]
\[\frac{{ \color{Red}{\rho} \cdot {V} \cdot {g}}}{ {V} \cdot {g}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {V} \cdot {g}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g} = {F_{\rm{A}}}\]
\[\frac{{ {\rho} \cdot \color{Red}{V} \cdot {g}}}{ {\rho} \cdot {g}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {g}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[ {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g} = {F_{\rm{A}}}\]
\[\frac{ {\rho} \cdot {V} \cdot \color{Red}{g}}{ {\rho} \cdot {V}} = \frac{{F_{\rm{A}}}}{ {\rho} \cdot {V}}\]
Aufgabe
Ein Ballon erfährt leer zusammen mit der Gondel die Gewichtskraft \({G_0} = 12000\,\rm{N}\). Er wird mit Wasserstoff (\({\rho _{Wa}} = 0{,}09\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)) gefüllt. Er hat dann das Volumen \(V = 1600\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\).
- Welche Auftriebskraft erfährt der Ballon, wenn die Dichte von Luft \({\rho _{Lu}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) ist?
- Mit welcher Steigkraft hebt der Ballon ab?
- Warum nimmt mit wachsender Höhe die Steigkraft immer mehr ab?
Aufgabe
Ein Salzbrocken erfährt in Luft die Gewichtskraft \(0{,}66\,{\rm{N}}\). Sein scheinbares Gewicht in Spiritus ist \(0{,}42\,{\rm{N}}\) (\({\rho _{Sp}} = 0{,}80\,\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\)).
- Berechne die Dichte des Salzbrockens.
- Warum wird der Versuch mit Spiritus und nicht mit Wasser ausgeführt?