Ein Neutronenstern stellt das Ende der Sternentwicklung eines Sterns von etwa 2-facher Sonnenmasse dar. Ein solcher Stern hat etwa den Radius von \({r_{\rm{Stern}}} = 1,0 \cdot {10^9}\rm{m}\) und dreht sich in 90 Tagen einmal um seine Achse.
Wenn bei einem solchen Stern die Wärme erzeugende Kernfusionen im Inneren erloschen ist kollabiert er auf Grund der nun überwiegenden Gravitationskräfte zu einem wesentlich kleineren Neutronenstern, der nun mit sehr großer Winkelgeschwindigkeit rotiert. Diese Rotationsfrequenz kann man beobachten und sie beträgt kurz nach dem Kollaps etwa 500 Umdrehungen pro Sekunde.
Bestimme aus diesen Angaben die ungefähre Größe des Neutronensterns nach dem Kollaps unter der vereinfachten Annahme, dass sowohl Ursprungsstern als auch Neutronenstern homogene Kugeln sind.
Anmerkung: In Wirklichkeit nimmt sowohl bei dem Ursprungsstern als auch beim Neutronenstern die Dichte von außen nach innen zu.
Hilfen aus der Formelsammlung: Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel ist \({J_{\rm{Kugel}}} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot {r^2}\), der Drehimpuls eines Körpers ist \(L = J \cdot \omega \).
Die Masse und der Drehimpuls des Sterns ändert sich beim Kollaps zum Neutronenstern nicht. Daraus folgt aus dem Drehimpulserhaltungssatz \[{{L_{\rm{S}}} = {L_{\rm{N}}} \Leftrightarrow \frac{2}{5}m \cdot {r_{\rm{S}}}^2 \cdot \frac{{2\pi }}{{{T_{\rm{S}}}}} = \frac{2}{5}m \cdot {r_{\rm{N}}}^2 \cdot \frac{{2\pi }}{{{T_{\rm{N}}}}} \Rightarrow {r_{\rm{N}}} = {r_{\rm{S}}} \cdot \sqrt {\frac{{{T_{\rm{N}}}}}{{{T_{\rm{S}}}}}} }\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{r_{\rm{N}}} = 1,0 \cdot {10^9}{\rm{m}} \cdot \sqrt {\frac{{\frac{1}{{500}}{\rm{s}}}}{{90 \cdot 24 \cdot 3600{\rm{s}}}}} = 16{\rm{km}}\]
Das ergibt etwa die Größe, die man auch aus anderen kernphysikalischen Überlegungen gewonnen hat.
