Drehbewegungen

Mechanik

Drehbewegungen

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Dreht man eine Schraube mit einem Schraubenschlüssel an, so benötigt man eine Kraft, die über den Hebelarm des Schraubenschlüsselgriffs ansetzt. Je weiter außen am Schraubenschlüssel man angreift umso geringer muss die Kraft zum Festziehen der Schraube sein. Auch ein möglichst senkrechtes Ansetzen der Kraft am Schraubenschlüssel reduziert den Kraftaufwand. Die Kraft \(\vec F\) hat eine Richtung und ist deshalb ein Vektor. Auch die Entfernung des Kraft-Ansatzpunktes A von der Drehachse D ist ein Vektor \(\vec r\). Will man die Größe des Drehmoments M ohne Verwendung von Vektoren berechnen, so nutzt man den Abstand \(a\) des Drehpunkts von der Wirkungslinie der Kraft und multipliziert ihn mit dem Kraftbetrag \(F\); es gilt
\[M = a \cdot F\]
Diesen Abstand \(a\) kann man mittels der trigonometrischen Beziehung \(a = r \cdot \sin \left( \alpha  \right) \) aus dem Radiusvektor \(\vec r\) (Entfernung Kraft-Ansatzpunkt zum Drehpunkt) und der Winkelweite \(\alpha \) des Winkels zwischen Kraftvektor \(\vec F\) und Radiusvektor \(\vec r\) ohne weitere Verwendung des Vektorbegriff berechnen, so dass gilt
\[M = r \cdot F \cdot \sin \left(  \alpha  \right) \]

Hinweis: In der Abbildung rechts ist die Winkelweite \(\alpha \) größer als \({90^\circ }\). Deshalb ergibt die Berechnung der Streckenlänge \(a\) hier eigentlich \(a = r \cdot \sin \left( 180^\circ - \alpha  \right) \). Da aber stets \(\sin \left( {180^\circ  - \alpha } \right) = \sin \left( \alpha  \right)\) gilt, führt auch hier die oben angegebene Berechnungsmethode \(a = r \cdot \sin \left( \alpha  \right) \) zum richtigen Ergebnis.

Was allerdings bei dieser Berechnung angenommen wird, ist die Kenntnis der Achsenrichtung und die Orientierung des Drehmoments als rechtsdrehend oder linksdrehend. Das Drehmoment ist also, da es eine Richtung und eine Orientierung hat ebenfalls ein Vektor. Die Berechnung dieses Vektors geht am einfachsten über das sogenannte Vektorprodukt (Kreuzprodukt):
\[\vec M = \vec r \times \vec F \]
Dabei steht der Drehmomentvektor \(\vec M \) senkrecht auf der durch die Vektoren \(\vec r \) und \(\vec F \) aufgespannten Ebene und entspricht der Richtung der Drehachse. Die Orientierung des Vektors kann man mit der 3-Finger-Regel der rechten Hand bestimmen: Daumen in Richtung \(\vec r \) , Zeigefinger in Richtung \(\vec F \) ergibt Mittelfinger in Richtung \(\vec M \).

Man kann sie aber auch mit Hilfe der Faustregel der rechten Hand herausbekommen: Zeigen die Finger der rechten Hand die Richtung an in der sich der Körper drehen würde, so zeigt der Daumen die Orientierung des Drehmomentvektors an (siehe Skizze). Die Größe dieses Vektors ist \(M = r \cdot F \cdot \sin \left(180° - \alpha  \right)\).

Ein solches Drehmoment kann auch durch eine Spiralfeder erzeugt werden, wie hier durch die Rückholfeder eines Stahlmaßbandes.

 

Dreht sich ein Rad mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) um eine feste Drehachse, so bewegen sich jeweils gegenüberliegende Punkte mit entgegengesetzter Geschwindigkeit. Der Massenschwerpunkt bewegt sich also nicht und das Rad besitzt keine Bewegungsenergie als Ganzes. Trotzdem steckt in ihm Energie, die man als Rotationsenergie \({E_\rm{Rot}}\) bezeichnet. Diese Energie ist aber nichts anderes als die Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte des Rades. Heben sich die Impulse der einzelnen Massenpunkte bei der Drehbewegung wegen der Gegenläufigkeit auf, so tun die kinetischen Energien dies nicht, da kinetische Energien im Gegensatz zu Impulsen und Geschwindigkeiten keine Richtung haben und sich deshalb die Beträge aufsummieren anstatt zu subtrahieren.

Wie groß die Rotationsenergie ist, lässt sich am einfachsten an einer sich mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega \) um eine Drehachse D drehende symmetrische Hantel zeigen. Denken wir uns die Gesamtmasse \(m\) auf zwei Hälften verteilt, so gilt für die kinetische Energie jeder dieser Hälften
\[{E_\rm{kin}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} \cdot {v^2}\]
Da die Geschwindigkeit das Produkt aus Radius und Winkelgeschwindigkeit ist ( \(v = r \cdot \omega \) ) und die Rotationsenergie die Summe der kinetischen Energien der beiden Hantelhälften ist, gilt
\[{E_\rm{Rot}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{2} \cdot {\left( {r \cdot \omega } \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {r^2} \cdot {\omega ^2}\]
Daraus ergibt sich für die Rotationsenergie
\[{E_\rm{Rot}} = \frac{1}{2} \cdot J \cdot {\omega ^2}\]
wobei \(J\) das sogenannte Trägheitsmoment ist. Dieses Trägheitsmoment ist für eine Hantel oder ein Rad, bei dem alle Massepunkte den gleichen Abstand \(r\) von der Drehachse haben
\[{J_\rm{Hantel}} = m \cdot {r^2}\]
Für Körper, bei denen die Massepunkte unterschiedliche Abstände von der Drehachse haben, berechnet sich das Trägheitsmoment durch Aufsummierung (bzw. Integration) aller Einzelträgheitsmomente.
\[J = \int {{r^2}d} m\]
Das Trägheitsmoment einer um seine Symmetrieachse sich drehenden homogenen Scheibe bzw. Zylinder beträgt
\[{J_\rm{Zylinder}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {r^2}\]
Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel, deren Achse durch den Mittelpunkt geht beträgt
\[{J_\rm{Kugel}} = \frac{2}{5} \cdot m \cdot {r^2}\]
Das Trägheitsmoment eines Körpers ist eine von seiner Achse abhängige skalare Größe.

 

Wir kennen aus der Bewegungslehre der linearen Bewegung die Begriffe Ort \(\vec x\), Geschwindigkeit \(\vec v\), Beschleunigung \(\vec a\), Masse \(m\), Kraft \(\vec F\), Impuls \(\vec p\) und die Kinetische Energie \({E_\rm{kin}}\). Dies sind bis auf die Masse und die Kinetische Energie alles vektorielle Größen, deren Richtung die Gerade ist, längs der sich die Bewegung vollzieht.

Aus der Drehbewegung kennen wir den Drehwinkel \(\vec \varphi \), die Winkelgeschwindigkeit \(\vec \omega \) und falls diese sich ändert auch die Winkelbeschleunigung \(\vec \beta \), dazu das Drehmoment \(\vec M\) und das Trägheitsmoment \( J\), das allerdings bei jedem Körper achsenabhängig ist. Dazu kommt noch der Drehimpuls \(\vec L\). Dies sind bis auf das Trägheitsmoment, das man als achsenabhängige skalare Größe bezeichnen kann, alles vektorielle Größen, deren Richtung die Drehachse ist. Zusätzlich kommt als nicht vektorielle Größe die Rotationenergie \({E_\rm{Rot}}\) hinzu.

Hieraus ergeben sich folgende Analogien:

Lineare Bewegung

Drehbewegung

Ort \(\vec x\)

Drehwinkel \(\vec \varphi \)

Geschwindigkeit \(\vec v\) mit \(v = \frac{{dx}}{{dt}}\)

Winkelgeschwindigkeit \(\vec \omega \) mit \(\omega = \frac{{d\varphi}}{{dt}}\)

Beschleunigung \(\vec a\) mit \(a = \frac{{dv}}{{dt}}\)

Winkelbeschleunigung \(\vec \beta \) mit \(\beta = \frac{{d\omega}}{{dt}}\)

Masse \(m\)

Trägheitsmoment \(J\)

Kraft \(\vec F\) mit \(F = m \cdot a\)

Drehmoment \(\vec M\) mit \(M = J \cdot \beta \)

Impuls \(\vec p\) mit \(p = m \cdot v\)

Drehimpuls \(\vec L\) mit \(L = J \cdot \omega \)

Kinetische Energie \({E_\rm{kin}}\) mit \({E_\rm{kin}} = \frac{1}{2}m \cdot {v^2}\)

Rotationenergie \({E_\rm{Rot}}\) mit \({E_\rm{Rot}} = \frac{1}{2}J \cdot {\omega ^2}\)

 

Der Drehimpuls \(\vec L\) ist das Produkt aus dem Trägheitsmoment \(J\) und der Winkelgeschwindigkeit \(\vec \omega \). Es gilt:
\[L = J \cdot \omega \]
Der Vektor des Drehimpulses hat die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit. Analog zum Impulserhaltungssatz existiert auch ein Drehimpulserhaltungssatz. Dieser lautet: In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant, wenn kein äußeres Drehmoment wirkt. Dafür gibt es einige Beispiele: Der Eiskunstläufer bei der Pirouette dreht moderat, wenn er die Arme und Beine weit nach außen gibt und dreht schneller, wenn er Arme und Beine nahe zur Drehachse bringt.

Der Grund dafür ist folgender: Sind die Massen der Arme und Beine weit von der Drehachse, dann ist das Trägheitsmoment \(J\) groß. Bringt man die Massen von Armen und Beinen näher zur Drehachse, so verringert sich das Trägheitsmoment \( J\). Da das Produkt aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit aber gleich bleiben muss, erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit \(\omega \), wenn sich das Trägheitsmoment \(J\) verkleinert.

Der Planet, der sich auf einer Ellipsenbahn um die Sonne bewegt ist umso schneller, je näher er der Sonne ist. Diese Konsequenz des Drehimpulserhaltungssatzes hat Johannes KEPLER bereits herausgefunden. Er formulierte das 2. KEPLER-Gesetz: Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

 
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