Beschleunigte Bewegung

Joachim Herz Stiftung

Im \(t\)-\(s\)-Diagramm in Abb. 2 kannst du erkennen, dass die Wertepaare in etwa auf einer Parabel liegen. Der Zusammenhang zwischen \(t\) und \(s\) wird also wahrscheinlich durch eine quadratische Funktion beschrieben.

Um dies zu überprüfen, kannst du \(t\) quadrieren

und ein \(t^2\)-\(s\)-Diagramm anfertigen.

Die Punkte im \(t^2\)-\(s\)-Diagramm in Abb. 3 liegen in etwa auf einer Geraden. Es handelt sich also wahrscheinlich um einen Zusammenhang der Form \[s\left( t^2 \right) = \beta t^2{.}\] Damit kannst du davon ausgehen, dass es sich hier um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt, denn \(s\), \(t\) und \(a\) stehen dabei im Zusammenhang \[s = \frac{1}{2}at^2{.}\] Es gilt also \[\beta = \frac{1}{2}a{.}\]

Den Wert von \(\beta\) erhältst du z.B., indem du die Steigung der Ausgleichsgeraden mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmst (vgl. Abb. 3). Du erhältst\[\beta = \frac{\Delta s}{\Delta t^2} = \frac{4{,}3\,\rm{m} - 0{,}0\,\rm{m}}{55\,\rm{s}^2-0{,}0\,\rm{s}^2} = 0{,}078\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}{.}\] Alternativ kannst du den Wert von \(\beta\) durch eine Lineare Regression mit dem GTR bestimmen. Du erhältst\[s\left( t^2 \right) = 0{,}074\,\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\]mit dem Bestimmtheitsmaß \(R^2 \approx 0{,}995\).

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Die Beschleunigung \(a\) erhälst du dann mit  \[a = 2\cdot\beta \approx 0{,}15\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}{.}\]

Als Ergebnis der Auswertung erhältst du also, dass sich der Gleiter gleichmäßig beschleunigt mit einer Beschleunigung von \(a = 2\cdot\beta = 0{,}15\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) bewegt.

Zuerst berechnest du die Momentangeschwindigkeiten \(v\) beim Durchlaufen der Lichtschranken. Dabei kannst du nutzen, dass du die Verdunklungszeit \(\Delta t\) und die Länge der Blende \(\Delta s\) kennst. Du kannst dann \(v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\) verwenden. Am Anfang der Bewegung kannst du davon ausgehen, dass die Momentangeschwindigkeit \(v = 0\ \frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) beträgt.

Im \(t\)-\(v\) Diagramm in Abb. 4 kannst du erkennen, dass die Wertepaare in etwa auf einer Ursprungsgeraden liegen. Der Zusammenhang zwischen \(t\) und \(v\)  wird also wahrscheinlich durch eine proportionale Funktion beschrieben.

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Du kannst hieran erkennen, dass es sich bei der untersuchten Bewegung um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt und die Bewegung durch die Gleichung \(v = a \cdot t\) beschrieben wird, wobei \(a\) die Beschleunigung der Bewegung ist.

Den Wert von \(a\) erhältst du z.B., indem du die Steigung der Ausgleichsgeraden mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmst (vgl. Abb. 4). Du erhältst\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0{,}92\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} - 0{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{7{,}0\,\rm{s}-0{,}0\,\rm{s}} = 0{,}13\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\] Alternativ kannst du den Wert von \(v\) durch eine Lineare Regression mit dem GTR bestimmen. Du erhältst\[v\left( t \right) = 0{,}13\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t\]mit dem Bestimmtheitsmaß \(R^2 \approx 0{,}99\).

Als Ergebnis der Auswertung erhältst du also, dass sich der Gleiter gleichmäßig beschleunigt mit einer Beschleunigung von \(a=0{,}13\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) bewegt.

Im ersten Teilversuch hast du \(a=0{,}15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) und im zweiten Teilversuch \(a=0{,}13\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\) erhalten. Es handelt sich also um eine prozentuale Abweichung von \[p\% = \frac{0{,}15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}-0{,}13\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{0{,}15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}= 0{,}13=13\%{.}\]

Eine mögliche Erklärung dafür ist, dass du im zweiten Teilversuch Daten aus zwei verschiedenen Durchläufen gleichzeitig genutzt hast. Evtl. war die Beschleunigung nicht genau die selbe bei der Messung von 0:22 bis 0:47 und der Messung von 0:49 bis 1:06. Eine weitere mögliche Erklärung ist, dass es sich nicht exakt um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt. In Abb. 5 kannst du sehen, dass bei größeren \(t\) die Abweichung von \(v\) von der Ausgleichsgerade immer größer wird. Das könnte von einer zunehmenden Luftreibung verursacht worden sein.