Beschleunigte Bewegung

• Im ersten Abschnitt (Dauer von 0s bis ca. 10s) bewegt sich das Auto konstant beschleunigt (Anfangsgeschwindigkeit \(0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)).

• Im zweiten Abschnitt (Dauer ca. von 10s bis 20s) bewegt sich das Auto mit konstanter Geschwindigkeit.

• Im dritten Abschnitt (Dauer ca. von 20s bis 30s) bewegt sich das Auto konstant verzögert (Anfangsgeschwindigkeit!).

• Im vierten Abschnitt (Dauer ca. von 30s bis 40s) bewegt sich das Auto wieder mit konstanter Geschwindigkeit (jedoch geringere Geschwindigkeit wie im 2. Abschnitt).

• Im fünften Abschnitt (Dauer ca. von 40s bis 60s) bewegt sich das Auto konstant beschleunigt mit Anfangsgeschwindigkeit. Die Beschleunigung ist aber niedriger als im ersten Abschnitt.

Joachim Herz Stiftung

Das \(t\)-\(x\)-Diagramm bestätigt die Vermutungen der Lösung der ersten Aufgabe:

[0s; 10s]:   Geradlinige, konstant beschleunigte Bewegung (parabelförmiger Verlauf im \(t\)-\(x\)-Diagramm) ohne Anfangsgeschwindigkeit
]10s; 20s]: Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (Geradenstück im \(t\)-\(x\)-Diagramm)
]20s; 30s]: Geradlinige, konstant verzögerte Bewegung (parabelförmiger Verlauf im \(t\)-\(x\)-Diagramm) mit Anfangsgeschwindigkeit
]30s; 40s]: Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (Geradenstück im \(t\)-\(x\)-Diagramm)
]40s; 60s]: Geradlinige, konstant beschleunigte Bewegung (parabelförmiger Verlauf im \(t\)-\(x\)-Diagramm) mit Anfangsgeschwindigkeit

1. Abschnitt [0s; 10s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt Null, da die Steigung der Tangente an den \(t\)-\(x\)-Graphen für \(t = 0\) Null ist (die Steigung der Tangente in einem Punkt des \(t\)-\(x\)-Diagramms ist ein Maß für die Momentangeschwindigkeit). Da es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung handelt (vgl. Hinweis) gilt für die Bewegungsgleichung:
\[\begin{array}{l}x = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_1} \cdot {t^2} \Rightarrow {a_1} = \frac{{2 \cdot x}}{{{t^2}}}\\{\rm{bei}}\;t = 10s\;{\rm{und}}\;x = 100{\rm{m}}\;{\rm{ folgt:}}\\{a_1} = \frac{{2 \cdot 100}}{{{{10}^2}}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \Rightarrow  {a_1} = 2,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\end{array}\]

2. Abschnitt [10s; 20s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung mit \({v_2} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor. Daraus folgt \({a_2} = 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

3. Abschnitt [20s; 30s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt ist \({v_{03}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Da es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung handelt (vgl. Hinweis) gilt für die Bewegungsgleichung:
\[\begin{array}{l}x = {x_{03}} + {v_{03}} \cdot (t - 20{\rm{s}}) + {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_3} \cdot {(t - 20{\rm{s}})^2}\quad \Rightarrow \quad \\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {x - {x_{03}} - {v_{03}} \cdot (t - 20{\rm{s}})} \right]}}{{{{(t - 20{\rm{s}})}^2}}}\\{\rm{bei}}\;t = 30s\;{\rm{und}}\;{x_{03}} = 300{\rm{m}}{\rm{, }}{{\rm{v}}_{03}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\;{\rm{und}}\;{x_3}{\rm{ = 450m folgt:}}\\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {450 - 300 - 20 \cdot (30 - 20)} \right]}}{{{{(30 - 20)}^2}}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = - 1,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\end{array}\]

4. Abschnitt [30s; 40s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung mit \({v_4} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor. Daraus folgt \({a_4} = 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

5. Abschnitt [40s; 60s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt ist \({v_{05}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Da es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung handelt (vgl. Hinweis) gilt für die Bewegungsgleichung:
\[\begin{array}{l}x = {x_{05}} + {v_{05}} \cdot (t - 40{\rm{s}}) + {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_5} \cdot {(t - 40{\rm{s}})^2}\quad \Rightarrow \quad \\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {x - {x_{05}} - {v_{05}} \cdot (t - 40{\rm{s}})} \right]}}{{{{(t - 40{\rm{s}})}^2}}}\\{\rm{bei}}\;t = 60s\;{\rm{und}}\;{x_{05}} = 550{\rm{m}}{\rm{, }}{{\rm{v}}_{05}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\;{\rm{und}}\;{x_3}{\rm{ = 850m folgt:}}\\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {850 - 550 - 10 \cdot (60 - 40)} \right]}}{{{{(60 - 40)}^2}}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 0,50\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\end{array}\]

Für den Verlauf von \(a(t)\) ergibt sich nach den obigen Vorarbeiten:

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Hinweis: So abrupt sich verändernde Beschleunigungsverläufe sind in der Praxis nur annähernd erreichbar.

1. Abschnitt [0s; 10s[

Linear mit der Zeit wachsende Geschwindigkeit \(v\):
\[\begin{array}{l}v(t) = {a_1} \cdot t\\{\rm{Bei}}\;{a_1} = 2,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\;{\rm{und}}\;t = 10{\rm{s}}\;{\rm{folgt:}}\\v(10\rm{s}) = 2,0 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\rm{s = 20}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]

2. Abschnitt [10s; 20s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit \({v_2} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor.

3. Abschnitt [20s; 30s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt ist \({v_{03}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Aufgrund der negativen Beschleunigung ergibt sich im \(t\)-\(v\)-Diagramm ein Geradenstück mit der Steigung \( - 1,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

4. Abschnitt [30s; 40s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung \({v_4} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor.

5. Abschnitt [40s; 60s[

Linear mit der Zeit wachsende Geschwindigkeit v mit dem Anfangswert \({v_{05}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
\[\begin{array}{l}v(t) = {v_{05}} + {a_5} \cdot \left( {t - 40{\rm{s}}} \right)\\{\rm{Bei}}\;{a_5} = 0,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\;{\rm{und}}\;t = 60{\rm{s}}\;{\rm{folgt:}}\\v(60\rm{s}) = 10\frac{\rm{m}}{\rm{s}} + 0,5 \cdot 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]

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