Beschleunigte Bewegung

Mechanik

Beschleunigte Bewegung

  • Was heißt eigentlich „Von 0 auf 100 in 6 Sekunden“?
  • Ist Bremsen denn auch Beschleunigen?
  • Wird man beim Beschleunigen wirklich immer schneller?

Mit dem Funkenschreiber gelingt eine sehr schnelle und einfache Aufzeichnung einer Bewegung an der Rollenfahrbahn. Auf dieser Seite wird das Grundprinzip der Methode dargestellt, die folgenden Seiten stellen die Auswertung einer konkreten Messung sehr detailliert dar.

Der Funkenschreiber erzeugt Hochspannungsimpulse mit einer Spannung von ca. \(8{\rm{kV}}\), die zwischen dem Metallpapier und dem geerdeten Experimentierwagen anliegen. Entsprechend der eingestellten Imuplsfrequenz (z.B. \(10{\rm{Hz}}\)) schlagen von der am Wagen befestigten Metallspitze auf das Metallpapier Funken über. Dabei wird das Metallpapier punktförmig geschwärzt und die augenblickliche Position des Wagens markiert.

Bei einer bestimmten Neigung der Fahrbahn (schiefe Ebene) ergaben sich die folgenden Messwerte:

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
\(x\;{\rm{in}}\;{\rm{mm}}\) 0 0,8 5,5 14 25 40 57 78 102 129 159 192 229 270 314 361

Zeit-Orts-Diagramm

Zeichne das zugehörige Zeit-Orts-Diagramm und versuche, einen gesetzmäßigen Zusammenhang zwischen \(t\) und \(x\) zu finden.

Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm

Berechne die mittleren Geschwindigkeiten in den Zeitintervallen [0s; 0,5s], [0,5s; 1,0s], [1,0s; 1,5s]

Berechne die mittleren Geschwindigkeiten in den Zeitintervallen [0s; 0,2s], [0,2s; 0,4s], [0,4s; 0,6s] . . . . [1,2s; 1,4s]

Berechne die mittleren Geschwindigkeiten in den Zeitintervallen [0s; 0,1s], [0,1s; 0,2s], [0,2s; 0,3s] . . . . [1,4s; 1,5s]

Erstelle ein geeignetes Zeit-Geschwindigkeits-Koordinatensystem und trage die berechneten mittleren Geschwindigkeiten als horizontale Striche mit verschiedenen Fraben in dieses Koordinatensystem ein.

Die folgende Animation stellt eine geradlinige Autofahrt in \(x\)-Richtung dar. Die Fahrt zerfällt in fünf charakteristische Abschnitte.

Hinweis: Sollten bei der Bewegung Abschnitte mit einer Beschleunigung bzw. Verzögerung vorkommen, so ist davon auszugehen, dass die Beschleunigung bzw. Verzögerung in diesem Abschnitt konstant ist.

1 Geradlinige Autofahrt entlang einer Ortsache mit gleichzeitiger Zeitanzeige
Verständnisaufgabe

Erkennen typischer Bewegungsabschnitte

Charakterisiere - nach mehrmaliger gründlicher Beobachtung - die Bewegung in den oben angesprochenen fünf Abschnitten mit Worten mit angemessenen Fachbegriffen.

Lösung
  • Im ersten Abschnitt (Dauer von 0s bis ca. 10s) bewegt sich das Auto konstant beschleunigt (Anfangsgeschwindigkeit \(0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)).

  • Im zweiten Abschnitt (Dauer ca. von 10s bis 20s) bewegt sich das Auto mit konstanter Geschwindigkeit.

  • Im dritten Abschnitt (Dauer ca. von 20s bis 30s) bewegt sich das Auto konstant verzögert (Anfangsgeschwindigkeit!).

  • Im vierten Abschnitt (Dauer ca. von 30s bis 40s) bewegt sich das Auto wieder mit konstanter Geschwindigkeit (jedoch geringere Geschwindigkeit wie im 2. Abschnitt).

  • Im fünften Abschnitt (Dauer ca. von 40s bis 60s) bewegt sich das Auto konstant beschleunigt mit Anfangsgeschwindigkeit. Die Beschleunigung ist aber niedriger als im ersten Abschnitt.

Eine wesentliche Grundlage für die genaue Analyse der dargestellten Bewegung ist die Dokumentation des \(t\)-\(x\)-Diagramms. Zur leichteren Ermittlung der \(t\)-\(x\)--Wertepaare und dem daraus resultierenden \(t\)-\(x\)--Diagramm, ist in der folgenden Animation der Bewegungsablauf nochmals bei einer verfeinerten Ortsachse dargestellt. Darüber hinaus kannst du die Bewegung definiert um jeweils zwei Sekunden fortschreiten lassen.

2 Geradlinige Autofahrt entlang einer Ortsache mit gleichzeitiger Zeitanzeige. Die Animation kann in Zeitschritten von \(2\,\rm{s}\) vor- und zurückgespielt werden.
Verständnisaufgabe

Erstellen des \(t\)-\(x\)-Diagramms

Fertige eine Tabelle mit den \(t\)-\(x\)-Wertepaaren im Abstand von jeweils \(2\rm{s}\) an.

Lösung
\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
\(x\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) 0 4 16 36 64 100 140 180 220 260 300 338 372 402 428 450
\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\)
32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60  
\(x\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\)
470 490 510 530 550 571 594 619 646 675 706 739 774 811 850 2

Zeichne mit Hilfe der Tabelle ein \(t\)-\(x\)-Diagramm und überprüfe damit deine Aussagen der ersten Aufgabe.

Lösung

t-x-Diagramm beschleunigte Bewegung Autofahrt

Das \(t\)-\(x\)-Diagramm bestätigt die Vermutungen der Lösung der ersten Aufgabe:

[0s; 10s]:   Geradlinige, konstant beschleunigte Bewegung (parabelförmiger Verlauf im \(t\)-\(x\)-Diagramm) ohne Anfangsgeschwindigkeit
]10s; 20s]: Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (Geradenstück im \(t\)-\(x\)-Diagramm)
]20s; 30s]: Geradlinige, konstant verzögerte Bewegung (parabelförmiger Verlauf im \(t\)-\(x\)-Diagramm) mit Anfangsgeschwindigkeit
]30s; 40s]: Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (Geradenstück im \(t\)-\(x\)-Diagramm)
]40s; 60s]: Geradlinige, konstant beschleunigte Bewegung (parabelförmiger Verlauf im \(t\)-\(x\)-Diagramm) mit Anfangsgeschwindigkeit

Aufgabe

Erstellen des \(t\)-\(a\)-Diagramms und des \(t\)-\(v\)-Diagramms

Entwickle aus dem \(t\)-\(x\)-Diagramm das zugehörige \(t\)-\(a\)-Diagramm.

Lösung

1. Abschnitt [0s; 10s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt Null, da die Steigung der Tangente an den \(t\)-\(x\)-Graphen für \(t = 0\) Null ist (die Steigung der Tangente in einem Punkt des \(t\)-\(x\)-Diagramms ist ein Maß für die Momentangeschwindigkeit). Da es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung handelt (vgl. Hinweis) gilt für die Bewegungsgleichung:
\[\begin{array}{l}x = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_1} \cdot {t^2} \Rightarrow {a_1} = \frac{{2 \cdot x}}{{{t^2}}}\\{\rm{bei}}\;t = 10s\;{\rm{und}}\;x = 100{\rm{m}}\;{\rm{ folgt:}}\\{a_1} = \frac{{2 \cdot 100}}{{{{10}^2}}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \Rightarrow  {a_1} = 2,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\end{array}\]

2. Abschnitt [10s; 20s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung mit \({v_2} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor. Daraus folgt \({a_2} = 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

3. Abschnitt [20s; 30s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt ist \({v_{03}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Da es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung handelt (vgl. Hinweis) gilt für die Bewegungsgleichung:
\[\begin{array}{l}x = {x_{03}} + {v_{03}} \cdot (t - 20{\rm{s}}) + {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_3} \cdot {(t - 20{\rm{s}})^2}\quad \Rightarrow \quad \\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {x - {x_{03}} - {v_{03}} \cdot (t - 20{\rm{s}})} \right]}}{{{{(t - 20{\rm{s}})}^2}}}\\{\rm{bei}}\;t = 30s\;{\rm{und}}\;{x_{03}} = 300{\rm{m}}{\rm{, }}{{\rm{v}}_{03}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\;{\rm{und}}\;{x_3}{\rm{ = 450m folgt:}}\\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {450 - 300 - 20 \cdot (30 - 20)} \right]}}{{{{(30 - 20)}^2}}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = - 1,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\end{array}\]

4. Abschnitt [30s; 40s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung mit \({v_4} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor. Daraus folgt \({a_4} = 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

5. Abschnitt [40s; 60s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt ist \({v_{05}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Da es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung handelt (vgl. Hinweis) gilt für die Bewegungsgleichung:
\[\begin{array}{l}x = {x_{05}} + {v_{05}} \cdot (t - 40{\rm{s}}) + {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {a_5} \cdot {(t - 40{\rm{s}})^2}\quad \Rightarrow \quad \\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {x - {x_{05}} - {v_{05}} \cdot (t - 40{\rm{s}})} \right]}}{{{{(t - 40{\rm{s}})}^2}}}\\{\rm{bei}}\;t = 60s\;{\rm{und}}\;{x_{05}} = 550{\rm{m}}{\rm{, }}{{\rm{v}}_{05}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\;{\rm{und}}\;{x_3}{\rm{ = 850m folgt:}}\\{a_3} = \frac{{2 \cdot \left[ {850 - 550 - 10 \cdot (60 - 40)} \right]}}{{{{(60 - 40)}^2}}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 0,50\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\end{array}\]

Für den Verlauf von \(a(t)\) ergibt sich nach den obigen Vorarbeiten:

t-a-Diagramm beschleunigte Bewegung Autofahrt

Hinweis: So abrupt sich verändernde Beschleunigungsverläufe sind in der Praxis nur annähernd erreichbar.

Entwickle aus dem \(t\)-\(a\)-Diagramm und dem \(t\)-\(x\)-Diagramm das \(t\)-\(v\)-Diagramm.

Lösung

1. Abschnitt [0s; 10s[

Linear mit der Zeit wachsende Geschwindigkeit \(v\):
\[\begin{array}{l}v(t) = {a_1} \cdot t\\{\rm{Bei}}\;{a_1} = 2,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\;{\rm{und}}\;t = 10{\rm{s}}\;{\rm{folgt:}}\\v(10\rm{s}) = 2,0 \cdot 10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\rm{s = 20}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]

2. Abschnitt [10s; 20s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung mit der konstanten Geschwindigkeit \({v_2} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor.

3. Abschnitt [20s; 30s[

Die Anfangsgeschwindigkeit ist in diesem Abschnitt ist \({v_{03}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Aufgrund der negativen Beschleunigung ergibt sich im \(t\)-\(v\)-Diagramm ein Geradenstück mit der Steigung \( - 1,0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\).

4. Abschnitt [30s; 40s[

Es liegt eine gleichförmige Bewegung \({v_4} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) vor.

5. Abschnitt [40s; 60s[

Linear mit der Zeit wachsende Geschwindigkeit v mit dem Anfangswert \({v_{05}} = 10\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).
\[\begin{array}{l}v(t) = {v_{05}} + {a_5} \cdot \left( {t - 40{\rm{s}}} \right)\\{\rm{Bei}}\;{a_5} = 0,5\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\;{\rm{und}}\;t = 60{\rm{s}}\;{\rm{folgt:}}\\v(60\rm{s}) = 10\frac{\rm{m}}{\rm{s}} + 0,5 \cdot 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 20\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]

t-v-Diagramm beschleunigte Bewegung Autofahrt

Das Wichtigste auf einen Blick

Mit deinem Smartphone kannst du im Unterricht oder zu Hause Bewegungen z.B. gleichmäßig beschleunigte Bewegungen von Körpern untersuchen. Die App auf deinem Smartphone zeigt dir dazu Diagramme, in denen der zurückgelegte Weg \(s\)  und die Geschwindigkeit \(v\) des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit \(t \) dargestellt sind. So kannst du untersuchen, wie sich diese beiden Diagramme für verschiedene gleichmäßig beschleunigte Bewegungen verändern.

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung verstehen zu können solltest du ...

  • ... wissen, wie man die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar v\) einer Bewegung bestimmt.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • einen leicht fahrenden Wagen (z.B. einen Experimentierwagen oder ein Modellauto)
  • eine leicht geneigte Unterlage
  • einen Maßstab, ein Maßband oder einen Zollstock
  • einige Magnete
  • stabiles Klebeband (Panzerband)

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor.

Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Das Magnetometer deines Smartphones misst ständig die Stärke des Magnetfelds an deinem Gerät. Diese Werte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspannen, zwischen denen besonders große Werte des Magnetfelds auftreten. Nach jeder dieser Zeitspannen \(\Delta t\) addiert phyphox zum bisher zurückgelegten Weg einmal den Abstand \(dx\) zwischen zwei Magneten hinzu und berechnet gleichzeitig die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar v = \frac{dx}{\Delta t}\) für diese Zeitspanne.  Eine graphische Darstellung der Ergebnisse, d.h. ein Zeit-Weg-Diagramm (phyphox nennt es Zeit-Entfernungs-Diagramm) und ein Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm findest du im Reiter "ERGEBNISSE".

Hilfen zur Durchführung

Die Aufnahme der Bewegung gelingt am besten, wenn du schwache Magnete sehr nahe an das Smartphone platzierst, denn dann überlagern sich die Magnetfelder der einzelnen Magnete nicht. So kannst du den Abstand der Magnete auf bis zu \(10\,\rm{cm}\) verringern und wesentlich genauere Messergebnisse erhalten. Wenn du den Experimentierwagen dann noch auf einer passenden Schiene fahren lässt, so behält er auch den Abstand zu den Magneten.

Beachte, dass die Geschwindigkeits-Achse im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm automatisch skaliert und evtl. nur einen kleinen Ausschnitt des Wertebereichs darstellt. Ein auf den ersten Blick "zackiger" Graph kann deshalb trotzdem eine relativ genaue Geschwindigkeitsangabe darstellen.

Hier noch zwei Abbildungen unseres Versuchsaufbaus.

Aufgabe

Verändere die Neigung der Unterlage und damit die Beschleunigung des Wagens und beobachte, wie sich das Zeit-Weg-Diagramm und das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm verändern.

Lösung

Je stärker die Unterlage geneigt ist und damit die Beschleunigung des Wagens ist, desto steiler wird der Graph im Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm. Es liegt also nahe, die Steigung des Graphen als Maß für die Beschleunigung des Wagens festzulegen.

 

Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

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