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Grundwissen

Beschleunigung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

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Nachdem wir nun wissen, was man sich unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung vorzustellen hat, wollen wir im weiteren untersuchen, wie man erfassen kann, ob ein Körper "stärker" oder "schwächer" beschleunigt; es geht also um den Begriff der "Beschleunigung". Dazu zeichnen wir die Bewegungen von drei unterschiedlich "beschleunigten" Körpern auf - der mittlere Körper beschleunigt genau so wie unser bekannter Körper, der obere stärker und der untere schwächer -  und werten die drei Bewegungen genau wie oben aus: zuerst untersuchen wir die Zeit-Weg-Diagramme:

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Abb. 1 Gleichzeitige Darstellung dreier gleichmäßig beschleunigter Bewegungen und deren Beschreibungen durch t-s-Tabellen, t-s-Graphen und t-s-Terme

Die Auswertung der drei Bewegungen in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

  • Der Zeit-Weg-Graph des stärker beschleunigten Körpers ist eine enger geöffnete Parabel und der des schwächer beschleunigten Körpers eine weiter geöffnete Parabel als die des mittleren bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Öffnungsfaktor der Parabel um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
  • Außerdem unterschieden sich auch die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion voneinander; die des stärker beschleunigten lautet \(s = 0,500\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\) und die des schwächer beschleunigten \(s = 0,250\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\) gegenüber der Gleichung \(s = 0,375\frac{\rm{m}}{\rm{s^2}} \cdot t^2\) unseres bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Öffnungsfaktor der Funktion um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.

Allerdings wird hier noch nicht die genaue Bedeutung des Öffnungsfaktors der Parabel bzw. der quadratischen Funktion deutlich; deshalb untersuchen wir nun die Zeit-Geschwindigkeits-Diagramme:

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Abb. 2 Gleichzeitige Darstellung dreier gleichmäßig beschleunigter Bewegungen einschließlich deren Momentangeschwindigkeiten und deren Beschreibungen durch t-v-Tabellen, t-v-Graphen und t-v-Terme

Die Auswertung der drei Bewegungen in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

  • In der Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle sieht man, dass der stärker beschleunigte Körper nach z.B. \(1,000\rm{s}\) eine Geschwindigkeit von \(1,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erreicht hat, der mittlere Körper in der gleichen Zeit eine Geschwindigkeit von \(0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und der schwächer beschleunigte Körper in der gleichen Zeit eine Geschwindigkeit von \(0,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Ein stärker beschleunigter Körper erreicht also in der gleichen Zeit eine größere Geschwindigkeit zurück als ein schwächer beschleunigter.
  • Dies bedeutet aber auch, dass sich für die verschieden stark beschleunigten Körper für die jeweiligen \((t|v)\)-Wertepaare unterschiedlich große Quotienten \(\frac{v}{t}\) aus erreichter Geschwindigkeit \(v\) und dafür benötigter Zeit \(t\) ergeben; Es ergibt sich in unserem Beispiel für den stärker beschleunigten Körper \[\frac{v}{t} = \frac{{1,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{4,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 1,000\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\] für den mittleren Körper \[\frac{v}{t} = \frac{{0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\] und für den schwächer beschleunigten Körper \[\frac{v}{t} = \frac{{0,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,500\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\] Man kann also erkennen, dass der Quotient \(\frac{v}{t}\) um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
  • Weiter kann man sehen, dass der Zeit-Geschwindigkeits-Graph des stärker beschleunigten Körpers steiler und der des schwächer beschleunigten Körpers flacher verläuft als der des mittleren bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Steigungsfaktor der Geraden um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.
  • Schließlich unterschieden sich auch die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion voneinander; die des stärker beschleunigten Körpers lautet \(v = 1,000\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t\) und die des schwächer beschleunigten Körpers \(v = 0,500\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t\) gegenüber der Gleichung \(v = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t\) unseres bekannten Körpers. Man kann also erkennen, dass der Proportionalitätsfaktor der Funktion um so größer wird, je stärker der Körper beschleunigt.

Alle diese Eigenschaften zeigen, dass der Wert des Quotienten \(\frac{v}{t}\) scheinbar ein gutes Maß dafür ist, ob ein Körper stärker oder schwächer beschleunigt: bei einem großen Wert von \(\frac{v}{t}\) beschleunigt der Körper stärker, bei einem kleineren Wert schwächer. Somit liegt folgende Definition des Begriffs der Beschleunigung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung nahe:

Beschleunigung bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung

Bewegt sich ein Körper gleichmäßig beschleunigt, dann bezeichnet man den Quotienten \(\frac{v}{t}\) aus der seit dem Beginn der Bewegung erreichten Geschwindigkeit \(v\) und der seit Beginn der Bewegung verstrichenen Zeit \(t\) als die Beschleunigung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Mit dem Formelbuchstaben \(a\) für die Beschleunigung (accelerare (lat.): beschleunigen) ergibt sich so
\[a = \frac{v}{t}\]
Für die Einheit \(\left[ a \right]\) der Beschleunigung ergibt sich durch die Definition
\[\left[ a \right] = \frac{{\left[ v \right]}}{{\left[ t \right]}} = \frac{{1\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{\rm{s}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\;\;\left( {\rm{lies:\;"Meter\;pro\;Sekundenquadrat"}} \right)\]

Hinweis: Diese Definition gilt nur dann, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) beginnt und der Körper zu diesem Zeitpunkt noch keine Geschwindigkeit hat, wovon wir bisher stets ausgegangen sind.

Bemerkenswert ist nun folgendes: Der von uns oben angesprochene Öffnungsfaktor \(k\) in der Zeit-Weg-Funktion ist immer genau die Hälfte der Beschleunigung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Dies werden wir später noch explizit notieren.

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