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Grundwissen

Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Zum Erfassen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung benötigt man (wie bei allen anderen Bewegungen auch) zum einen eine Uhr zur Zeitmessung und zum anderen einen geeigneten Maßstab zur Messung der zurückgelegten Strecke. Der Einfachheit halber legen wir den Maßstab so, dass sich der Körper zum Beginn der Bewegung im Nullpunkt befindet, also noch keine Strecke \(s\) zurückgelegt hat. Außerdem starten wir die Messung der Zeit \(t\) genau dann, wenn sich der Körper in Bewegung setzt.

In der untenstehenden Animation wird während der Bewegung alle \(0,5\rm{s}\) die zurückgelegte Strecke \(s\) gemessen und die sich ergebenden \((t|s)\)-Wertepaare in die sogenannte Zeit-Weg-Tabelle eingetragen.

Anschließend werden die \((t|s)\)-Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem mit der Zeit \(t\) auf der horizontalen Achse (Rechtsachse) und der zurückgelegte Strecke \(s\) auf der vertikalen Achse (Hochachse) eingetragen und durch eine passende Linie verbunden. So entsteht der sogenannte Zeit-Weg-Graph, der oft auch als Zeit-Weg-Diagramm bezeichnet wird.

Schließlich wird der zum Graphen gehörige Funktionsterm in Form der Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion angegeben.

Hinweis für Fortgeschrittene: Normalerweise wird auf dem Maßstab nicht die vom Körper seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\), sondern dessen momentaner Ort \(x\) gemessen. Da die hier dargestellte Bewegung aber nur in einer Richtung stattfindet und sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\) am Ort \(x=0\rm{m}\) befindet, stimmen zurückgelegte Strecke und Ort überein.

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Abb. 1 Darstellung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung und deren Beschreibung durch t-s-Tabelle, t-s-Graph und t-s-Term

Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Weg-Tabelle sieht man, dass nach z.B. \(1,000\rm{s}\) eine Strecke von \(0,375\rm{m}\) zurückgelegt wurde, nach der doppelten Zeit von \(2,000\rm{s}\) die vierfache Strecke von \(1,500\rm{m}\), nach der dreifachen Zeit von \(3,000\rm{s}\) die neunfache Strecke von \(3,375\rm{m}\) und nach der vierfachen Zeit von \(4,000\rm{s}\) die sechzehnfache Strecke von \(6,000\rm{m}\). Die zurückgelegte Strecke wächst also quadratisch mit der verstrichenen Zeit an.
Der Zeit-Weg-Graph liegt auf einer nach oben geöffneten Parabel, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion lautet \(s = 0,375\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {t^2}\).
Alle diese Eigenschaften sind typisch für sogenannte Quadratische Funktionen, die du im Mathematikunterricht bereits kennengelernt haben solltest. Da sich diese Eigenschaften bei jeder gleichmäßig beschleunigten Bewegung - lediglich mit anderen Zahlenwerten - zeigen, können wir sie zu einer ersten Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung heranziehen:

Erste Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt, wenn er sich auf einer geraden Linie bewegt und die seit dem Start der Bewegung zurückgelegte Strecke \(s\) quadratisch mit der seit dem Start der Bewegung vergangenen Zeit \(t\) zunimmt. Dies erkennt man unter anderem daran, dass
in der Zeit-Weg-Tabelle zur doppelten, dreifachen, ... Zeit die vierfache, neunfache, ... Strecke gehört
der Zeit-Weg-Graph auf einer nach oben geöffneten, durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufenden Parabel liegt
die Funktionsgleichung der Zeit-Weg-Funktion die Form \(s = k \cdot {t^2}\) einer Quadratischen Funktion hat.

Allerdings zeigen diese Eigenschaften nicht klar auf, warum man von einer "gleichmäßig" beschleunigten Bewegung spricht. Um dies zu verstehen muss man auch das zeitliche Verhalten der Geschwindigkeit des Körpers untersuchen. Zum Erfassen dieser Geschwindigkeit benötigt man wieder eine Uhr zur Zeitmessung und zum anderen eine geeignete Methode zur Messung der momentanen Geschwindigkeit. Benutzt man im Alltag hierfür üblicherweise Tachometer, so stellen wir die momentane Geschwindigkeit durch einen Pfeil dar, dessen Länge ein Maß für die momentane Geschwindigkeit des Körpers ist. Wir starten die Messung der Zeit \(t\) wieder genau dann, wenn sich der Körper in Bewegung setzt, er also zu diesem Zeitpunkt noch keine Geschwindigkeit besitzt.

In der untenstehenden Animation wird während der Bewegung alle \(0,5\rm{s}\) die momentane Geschwindigkeit \(v\) gemessen und die sich ergebenden \((t|v)\)-Wertepaare in die sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle eingetragen.

Anschließend werden die \((t|v)\)-Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem mit der Zeit \(t\) auf der horizontalen Achse (Rechtsachse) und der momentanen Geschwindigkeit \(v\) auf der vertikalen Achse (Hochachse) eingetragen und durch eine passende Linie verbunden. So entsteht der sogenannte Zeit-Geschwindigkeits-Graph, der oft auch als Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm bezeichnet wird.

Schließlich wird der zum Graphen gehörige Funktionsterm in Form der Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion angegeben.

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Abb. 2 Darstellung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung einschließlich der Momentangeschwindigkeit und deren Beschreibung durch t-v-Tabelle, t-v-Graph und t-v-Term

Die Auswertung der Bewegung in der Animation zeigt mehrere auffällige Eigenschaften:

In der Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle sieht man, dass nach z.B. \(1,000\rm{s}\) eine Geschwindigkeit von \(0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) erreicht wurde, nach der doppelten Zeit von \(2,000\rm{s}\) die doppelte Geschwindigkeit von \(1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), nach der dreifachen Zeit von \(3,000\rm{s}\) die dreifache Geschwindigkeit von \(2,250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und nach der vierfachen Zeit von \(4,000\rm{s}\) die vierfache Geschwindigkeit von \(3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Die erreichte Geschwindigkeit wächst also proportional zur verstrichenen Zeit an.
Dies bedeutet aber auch, dass für alle \((t|v)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{v}{t}\) aus erreichter Geschwindigkeit \(v\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt (sogenannte Quotientengleichheit). Es ergibt sich in unserem Beispiel stets
\[\frac{v}{t} = \frac{{0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,000{\rm{s}}}} = \frac{{1,500\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,000{\rm{s}}}} = \frac{{2,250\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,000{\rm{s}}}} = \frac{{3,000\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4,000{\rm{s}}}} = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\]
An dieser Stelle wird nun der Begriff der "gleichmäßig" beschleunigten Bewegung deutlich: Die Geschwindigkeit wächst im Laufe der Zeit gleichmäßig, d.h. in jeder Sekunde um den gleichen Wert von \(0,750\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) an.
Der Zeit-Geschwindigkeits-Graph liegt auf einer ansteigenden Geraden, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft.
Die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion lautet \(v = 0,750\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot t\).
Alle diese Eigenschaften sind typisch für sogenannte Proportionale Funktionen, die du im Mathematikunterricht bereits kennengelernt haben solltest. Da sich diese Eigenschaften bei jeder gleichmäßig beschleunigten Bewegung - lediglich mit anderen Zahlenwerten - zeigen, können wir sie zur Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung heranziehen:

Charakterisierung der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Ein Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt, wenn er sich auf einer geraden Linie bewegt und die seit dem Start der Bewegung erreichte Geschwindigkeit \(v\) proportional zu der seit dem Start der Bewegung vergangenen Zeit \(t\) ist. Dies erkennt man unter anderem daran, dass
in der Zeit-Geschwindigkeits-Tabelle zur doppelten, dreifachen, ... Zeit die doppelte, dreifache, ... erreichte Geschwindigkeit gehört und deshalb für alle \((t|v)\)-Wertepaare der Quotient \(\frac{v}{t}\) aus erreichter Geschwindigkeit \(v\) und dafür benötigter Zeit \(t\) den selben Wert besitzt
der Zeit-Geschwindigkeits-Graph auf einer ansteigenden, durch den Ursprung des Koordinatensystems verlaufenden Geraden liegt
die Funktionsgleichung der Zeit-Geschwindigkeits-Funktion die Form \(v = a \cdot t\) hat.