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Aufgabe

Beschleunigung eines Autos

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Tachometers eines Autos während eines Beschleunigungs- und anschließenden Bremsvorgangs

Die Animation in Abb. 1 dokumentiert mit Hilfe eines (Spezial-)Tachometers die geradlinige Fahrt eines Autos, welche in fünf charakteristische Abschnitte zerfällt.

a)Charakterisiere diese fünf Abschnitte jeweils mit mindestens einem Satz.

b)Erstelle ein Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm der Bewegung des Autos von \(0\rm{s}\) bis \(14\rm{s}\).

Gib die Geschwindigkeit in \({\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\) an.

c)Berechne die mittleren Beschleunigungen in den fünf Bewegungsphasen in \({\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\).

d)Berechne, welche Durchschnittsgeschwindigkeit in \({\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) das Auto in der Zeitspanne hat, in der es von \({0\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) auf \({100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) beschleunigt.

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a)Anschnitt 1 zwischen 0.s und 3.s: Geradlinige, beschleunigte Bewegung (\({a_1} > 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)) ohne Anfangsgeschwindigkeit;

Abschnitt 2 zwischen 3.s und 6.s: Geradlinige, beschleunigte Bewegung (\({a_2} > 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)) mit Anfangsgeschwindigkeit \(50\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\); (\({a_2} < {a_1}\))

Abschnitt 3 zwischen 6.s und 9.s: Geradlinige, beschleunigte Bewegung (\({a_3} > 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)) mit Anfangsgeschwindigkeit \(80\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\); (\({a_3} < {a_2}\))

Abschnitt 4 zwischen 9.s und 11.s: Geradlinige, gleichförmige Bewegung (\({a_4} = 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)) mit Geschwindigkeit \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\);

Abschnitt 5 zwischen 11.s und 14.s: Geradlinige, negativ beschleunigte Bewegung (\({a_5} < 0\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\)) mit Anfangsgeschwindigkeit \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\);

 
 

b)Beispiel für eine Umrechnung von \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) in \(\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\):\[100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}{\rm{ = 100}} \cdot \frac{{{\rm{1000m}}}}{{{\rm{3600s}}}}{\rm{ = 100}} \cdot \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{3}},{\rm{6}}}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = {\rm{27}},{\rm{8}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

c)\[\begin{array}{l}\bar a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\\\begin{array}{*{20}{c}}{0,0{\rm{s}}\;{\rm{bis}}\;{\rm{3}},{\rm{0s}}:}&{\overline {{a_1}}  = \frac{{13,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 0,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0{\rm{s}}}} = {\rm{4}},{\rm{6}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\\{}&{}\\{3,0{\rm{s}}\;{\rm{bis}}\;{\rm{6}},{\rm{0s}}:}&{\overline {{a_2}}  = \frac{{22,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 13,9\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0{\rm{s}}}} = {\rm{2}},{\rm{8}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\\{}&{}\\{6,0{\rm{s}}\;{\rm{bis}}\;{\rm{9}},{\rm{0s}}:}&{\overline {{a_3}}  = \frac{{27,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 22,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0{\rm{s}}}} = {\rm{1}},{\rm{9}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\\{}&{}\\{9,0{\rm{s}}\;{\rm{bis}}\;{\rm{11}},{\rm{0s}}:}&{\overline {{a_4}}  = \frac{{27,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 27,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2,0{\rm{s}}}} = {\rm{0}},{\rm{0}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\\{}&{}\\{11,0{\rm{s}}\;{\rm{bis}}\;{\rm{14}},{\rm{0s}}:}&{\overline {{a_5}}  = \frac{{0,0\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 27,8\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,0{\rm{s}}}} =  - {\rm{9}},{\rm{3}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\end{array}\end{array}\]

d)Das Auto braucht \(9,0\rm{s}\) um die Geschwindigkeit von \(100\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) zu erreichen. Laut Tachometer legt es in dieser Zeit die Strecke von \(150\rm{m}\) zurück. Für die durchschnittliche Geschwindigkeit gilt dann:
\[\bar v = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow \bar v = \frac{{150{\rm{m}} - 0,0{\rm{m}}}}{{9,0{\rm{s}} - 0,0{\rm{s}}}} = {\rm{1}}7\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = {\rm{61}}\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]