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Aufgabe

Achterbahnkinematik

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Achterbahn Kingda Ka

Auf dem Kingda-Ka-Coaster im Six-Flags-Freizeitpark im US-Bundesstaat New Jersey wird man erst in \(3{,}5\,\rm{s}\) auf \(206\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\) beschleunigt, fährt dann \(139\,\rm{m}\) senkrecht nach oben um dann wieder \(139\,\rm{m}\) senkrecht in die Tiefe zu stürzen.

Wir nehmen an, dass die Bewegung aus der Ruhe heraus startet und die Beschleunigung während des Beschleunigungsvorgangs konstant ist. Wir nehmen weiter an, dass der "Sturz in die Tiefe" ebenfalls wieder aus der Ruhe startet und ungebremst, d.h. mit der Erdbeschleunigung \(g = 9{,}81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) geschieht.

a)Berechne die mittlere Beschleunigung während des Beschleunigungsvorgangs.

b)Berechne die Strecke, die man während des Beschleunigungsvorgangs zurücklegt.

c)Berechne die Zeit, die der "Sturz in die Tiefe" dauert.

d)Berechne die Geschwindigkeit, die man am Ende des "Sturzes in die Tiefe" besitzt.

Das folgende Zitat stammt aus dem Artikel "Ein Mann zum Fürchten" über den Achterbahnkonstrukteur Andreas Wild in "DIE ZEIT" 35/2014 S.24.

"Die zurzeit schnellste Bahn der Welt - die Formula Rossa in der Ferrari World in Abu Dhabi - beschleunigt ihre Insassen auf 240 Stundenkilometer. Dabei entstehen kurzfristig Kräfte von bis zu 4,8g."

Wir nehmen wieder an, dass die Bewegung aus der Ruhe heraus startet. Weiter soll die Beschleunigung während dieses Beschleunigungsvorgangs konstant den Wert \(1{,}3\,g\) haben.

e)Diskutiere den letzten Satz im obigen Zitat.

f)Berechne die Zeitspanne, die der Beschleunigungsvorgang dauert.

g)Berechne die Strecke, die man während des Beschleunigungsvorgangs zurücklegt.

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a)Die mittlere Beschleunigung ergibt sich aus\[\bar a = \frac{v}{t} \Rightarrow \bar a = \frac{{\frac{{206}}{{3{,}6}}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3{,}5\,{\rm{s}}}} = 16\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 1{,}6\,g\]

b)Die Beschleunigungsstrecke der Achterbahn beträgt\[s = \frac{1}{2} \cdot \bar a \cdot {t^2} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot 16\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {\left( {3{,}5\,{\rm{s}}} \right)^2} = 98\,{\rm{m}}\]

c)Die Zeit für den Sturz in der Tiefe ergibt sich aus \[s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{g}}  \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 139\,{\rm{m}}}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}}  = 5{,}32\,{\rm{s}}\]

d)Am Ende hat die Achterbahn die Geschwindigkeit \[v = g \cdot t \Rightarrow v = 9{,}81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5{,}32{\rm{s}} = 52{,}2\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 188\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

e)Kräfte werden in Newton und nicht in Vielfachen der Erdbeschleunigung gemessen; korrekt wäre: "Dabei erfährt man kurzfristig Beschleunigungen von bis zu \(4{,}8\,g\)"

f)Die Dauer des Beschleunigungsvorgangs ergibt sich aus dem Gesetz für die mittlere Beschleunigung \[\bar a = \frac{v}{t} \Leftrightarrow t = \frac{v}{{\bar a}} \Rightarrow t = \frac{{\frac{{240}}{{3{,}6}}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}3 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 5{,}2\,{\rm{s}}\]

g)Die zurückgelegte Strecke ergibt sich zu \[s = \frac{1}{2} \cdot \bar a \cdot {t^2} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot 1{,}3 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot {\left( {5{,}2\,{\rm{s}}} \right)^2} = 170\,{\rm{m}}\]Das Ergebnis ist nur auf zwei Ziffern genau, da die Angabe von \(\bar a=1{,}3\,g\) nur auf zwei Ziffern genau ist.

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