Abb. 1 Exponentielle Regression Erklärvideo
Bei vielen Aufgaben zum radioaktiven Zerfall sollst du aus vorgegebenen Messwerten vom Zerfall eines radioaktiven Präparates bestimmte Größen wie z.B. die Anfangsaktivität \(A_0\), die Zerfallskonstante \(\lambda\) oder die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) bestimmen.
Wir stellen dir im folgenden drei verschiedene Methoden zur Bestimmung von \(A_0\), \(\lambda\) und \(T_{1/2}\) vor. Welche du in einer Aufgabe anwendest hängt davon ab,
- wie die Aufgabenstellung konkret formuliert ist und
- welche technischen Hilfsmittel wie GTR oder Tabellenkalkulation dir zur Verfügung stehen.
Wie bereits angedeutet gehen in unserem Beispiel von der Messung der Aktivität \(A\) eines radioaktiven Präparates in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) seit dem Start des radioaktiven Zerfalls aus. Die gleichen Methoden könntest du aber anwenden, wenn du den Bestand \(N\) im Lauf der Zeit gemessen oder gegeben hättest. Die folgenden Messwerten sollen gegeben sein:
| \(t\;\rm{in}\;\rm{s}\) | \(1{,}0\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) | \(7{,}0\) | \(8{,}0\) | \(9{,}0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A\;\rm{in}\;10^{6}\,\rm{Bq}\) | \(4{,}0\) | \(3{,}3\) | \(2{,}6\) | \(2{,}1\) | \(1{,}7\) | \(1{,}4\) | \(1{,}1\) | \(0{,}9\) | \(0{,}7\) |
Egal welche Methode du später anwendest, die Darstellung der Messwerte in einem \(t\)-\(A\)-Diagramm sollte immer der erste Schritt der Auswertung sein.
Joachim Herz Stiftung
Das Diagramm in Abb. 2 zeigt, dass die Wertepaare (ungefähr) auf dem Graphen einer Exponentialfunktion liegen. Dies ist für uns nicht unerwartet, da wir aus der Theorie wissen, dass beim radioaktiven Zerfall der zeitliche Verlauf der Aktivität \(A\) durch eine Exponentialfunktion mit dem Term\[A(t) = A_0 \cdot e^{-\lambda \cdot \, t}\]beschrieben wird.
Ablesen im Graphen
Wenn du die gesuchten Größen \(A_0\), \(\lambda\) und \(T_{1/2}\) durch Ablesen von Halbwertzeit und Anfangsaktivität im Graphen bestimmen sollst, dann sind die folgenden Schritte notwendig:
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1. Zeichne mit der Hand eine Ausgleichskurve durch die Messwerte.
Die Ausgleichskurve in unserem Beispiel ist in Abb. 3 grün eingezeichnet.
2. Lies den Ordinatenabschnitt der Ausgleichskurve ab; dieser Wert ist die Anfangsaktivität \(A_0\).
In unserem Beispiel erhältst du für die Anfangsaktivität den Wert\[A_0 = 5{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq}\]
3. Lies auf der Rechtsachse die Halbwertzeit \(T_{1/2}\) ab und berechne daraus den Wert für \(\lambda\).
In unserem Beispiel bestimmen wir als Halbwertszeit die Zeitspanne, die für das Absinken der Aktivität von \(4{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq}\) auf die Hälfte, also \(2{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq}\) benötigt wird. Du erhältst für die Halbwertzeit den Wert\[T_{1/2}=3{,}3\,\rm{s}\]
Damit ergibt sich wegen \(T_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{\lambda} \Leftrightarrow \lambda = \frac{\ln \left( 2 \right)}{T_{1/2}}\) in unserem Beispiel für die Zerfallskonstante der Wert\[\lambda = \frac{\ln \left( 2 \right)}{3{,}3\,\rm{s}} = 0{,}21\,\frac{1}{\rm{s}}\]
Insgesamt erhältst du als Term\[A\left( t \right) = 5{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq} \cdot e^{-\,0{,}21\frac{1}{\rm{s}} \cdot \,t}\]
Exponential-Regression mit dem GTR oder einer Tabellenkalkulation
Wenn du die gesuchten Größen \(A_0\), \(\lambda\) und \(T_{1/2}\) mit Hilfe eines GTR oder einer Tabellenkalkulation mit Exponential-Regression bestimmen kannst, dann übernimmt die Software einen großen Teil der Auswertung für dich. Dazu sind die folgenden Schritte notwendig.
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1. Gib die Messwerte aus Tab. 1 in die Software ein.
2. Lasse dir die Messwerte in einem Diagramm darstellen.
3. Lasse dir das Ergebnis der Exponential-Regression anzeigen.
Die Ergebnisse in unserem Beispiel sind in Abb. 4 blau eingezeichnet. Manche Software gibt den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form \(y = 5{,}0 \cdot 10^6 \cdot e^{-0{,}21\, \cdot \,x}\) aus, andere Software in der Form \(y = 5{,}0 \cdot 10^6 \cdot {0{,}81}^x\).
4. Bestimme aus dem Funktionsterm der Wert für \(A_0\).
Egal wie die Software ihr Ergebnis ausgibt, der konstante Faktor vor der Exponentialfunktion ist die Maßzahl der Anfangsaktivität \(A_0\). In unserem Beispiel erhältst du für die Anfangsaktivität den Wert\[A_0 = 5{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq}\]
5. Bestimme aus dem Funktionsterm den Wert für \(\lambda\) und berechne daraus den Wert für \(T_{1/2}\).
Gibt die Software den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form \(y = 5{,}0 \cdot 10^6 \cdot e^{-0{,}21\, \cdot \,x}\) aus, dann sieht man für die Zerfallskonstante direkt den Wert\[\lambda=0{,}21\,\frac{1}{\rm{s}}\]
Gibt die Software den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form \(y = 5{,}0 \cdot 10^6 \cdot {0{,}81}^x\) aus, dann musst du zur Bestimmung von \(\lambda\) noch etwas rechnen. Wegen\[{e^{-\lambda \cdot x}} = {a^x} \Leftrightarrow -\lambda \cdot x = x \cdot \ln \left( a \right) \Leftrightarrow -\lambda = \ln \left( a \right)\]erhältst du in unserem Beispiel \(-\lambda = \ln \left( 0{,}81 \right) = - 0{,}21\) und damit für die Zerfallskonstante den Wert\[\lambda=0{,}21\,\frac{1}{\rm{s}}\]
Egal in welcher Form dir die Software ihr Ergebnis ausgegeben hat, ergibt sich wegen \(T_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{\lambda}\) in unserem Beispiel für die Halbwertszeit der Wert\[T_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{0{,}21\,\frac{1}{{\rm{s}}}}=3{,}3\,\rm{s}\]
Insgesamt erhältst du als Term\[A\left( t \right) = 5{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq} \cdot e^{-\,0{,}21\frac{1}{\rm{s}} \cdot t}\]
Linearisieren und lineare Regression (evtl. mit GTR oder Tabellenkalkulation)
Wenn du die gesuchten Größen \(A_0\), \(\lambda\) und \(T_{1/2}\) durch Linearisieren des Graphen (man sagt auch einfach logarithmische Auftragung) und anschließende lineare Regression bestimmen sollst, dann sind die folgenden Schritte notwendig:
1. Erstelle eine \(t\)-\(\ln \left( \frac{A}{10^6\,\rm{Bq}} \right)\)-Tabelle
Das Grundprinzip der Linearisierung von Exponentialfunktionen durch einfach logarithmische Auftragung solltest du natürlich kennen. Du wirst dich möglicherweise wundern, warum wir nicht einfach den \(\ln \left( A \right)\), sondern den \(\ln \left( {\frac{A}{{{{10}^6}{\rm{Bq}}}}} \right)\) berechnen. Dies hat zwei Gründe:
- Um Schwierigkeiten mit den Einheiten zu vermeiden nimmt man am liebsten immer den Logarithmus von einheitenlosen Werten, darum also das Teilen durch die Maßeinheit \(\rm{Bq}\).
- Um Logarithmen im kleinen einstelligen Bereich zu erhalten teilen wir zusätzlich durch die Zehnerpotenz \(10^6\).
In unserem Beispiel erhältst du folgende Tabelle:
| \(t\;\rm{in}\;\rm{s}\) | \(1{,}0\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) | \(7{,}0\) | \(8{,}0\) | \(9{,}0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln \left( \frac{A}{10^6\,\rm{Bq}} \right)\) | \(1{,}39\) | \(1{,}19\) | \(0{,}96\) | \(0{,}74\) | \(0{,}53\) | \(0{,}34\) | \(0{,}10\) | \(-0{,}11\) | \(-0{,}36\) |
2. Trage die Werte aus Tab. 2 in ein \(t\)-\(\ln \left( \frac{A}{10^6\,\rm{Bq}} \right)\)-Diagramm ein
Joachim Herz Stiftung
In unserem Beispiel erhältst du das Diagramm in Abb. 5. Du kannst erkennen, dass die Wertepaare ungefähr auf einer Geraden liegen.
3. Zeichne mit dem Lineal eine Ausgleichskurve durch die Messwerte.
Die Ausgleichsgerade in unserem Beispiel ist in Abb. 5 türkis eingezeichnet.
4. Lies den Ordinatenabschnitt der Ausgleichsgerade ab und berechne daraus den Wert für \(A_0\).
In unserem Beispiel erhältst du für den Ordinatenabschnitt den Wert \(1{,}6\). Damit ergibt sich\[\ln \left( {\frac{{{A_0}}}{{{10^6}\,{\rm{Bq}}}}} \right) = 1{,}6 \Leftrightarrow \frac{{{A_0}}}{{{10^6}\,{\rm{Bq}}}} = {e^{1{,}6}} = 5{,}0 \Leftrightarrow {A_0} = 5{,}0 \cdot {10^6}{\rm{Bq}}\]
5. Bestimme den Steigungsfaktor der Ausgleichsgerade und berechne daraus die Werte für \(\lambda\) und \(T_{1/2}\).
In unserem Beispiel erhältst du für den Steigungsfaktor der Ausgleichsgerade\[m = \frac{{ - 1{,}6}}{{7{,}5\,{\rm{s}}}} = - 0{,}21\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]Dies ist der Wert für \(-\lambda\), also ergibt sich\[\lambda =0{,}21\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]Damit ergibt sich wegen \(T_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{\lambda}\) in unserem Beispiel für die Halbwertszeit der Wert\[T_{1/2} = \frac{\ln \left( 2 \right)}{0{,}21\,\frac{1}{{\rm{s}}}}=3{,}3\,\rm{s}\]
Insgesamt erhältst du als Term\[A\left( t \right) = 5{,}0 \cdot 10^6\,\rm{Bq} \cdot e^{-\,0{,}21\frac{1}{\rm{s}}\cdot \,t}\]
Hinweis: Wenn du einen GTR oder eine Tabellenkalkulation zur Verfügung hast, lassen sich in Schritt 1 die Werte in der zweiten Zeile von Tab. 2 automatisiert aus den Werten der zweiten Zeile von Tab. 1 berechnen. Das Diagramm in Schritt 2 lässt sich mit der Software ebenfalls sehr einfach erstellen. Auch die Ausgleichsgerade sowie deren Steigung und Ordinatenabschnitt kann die Software mit den eingebauten Funktionen bestimmen.