Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Zerfallsgleichung für ein freies Neutron lautet\[_0^1{\rm{n}} \to _1^1{\rm{p}} + _{ - 1}^0{{\rm{e}}^ - } + _0^0\bar \nu \]Für die maximale kinetische Energie der \({\beta ^ - }\)-Teilchen gilt\[\begin{eqnarray}{E_{\beta ,\max }} &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {m\left( {_0^1{\rm{n}}} \right) - \left( {m\left( {_0^1{\rm{p}}} \right) + m\left( {{{\rm{e}}^ - }} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {m\left( {_0^1{\rm{n}}} \right) - m\left( {_0^1{\rm{p}}} \right) - m\left( {{{\rm{e}}^ - }} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {1{,}008665\,{\rm{u}} - 1{,}007277\,{\rm{u}} - 0{,}000549\, {\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000839 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000839 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 0{,}78\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
Wegen der bei den verschiedenene Prozessen unterschiedlichen Aufteilung der Energie auf das Elektron und das Antineutrino ist die Energie der Elektronen kontinuierlich.
b)Den Wert für \(\varepsilon \) erhält man aus dem Verhältnis von \(F\) zu einer Kugeloberfläche mit dem Radius \(r=30\,\rm{cm}\) multipliziert mit dem Registrierprozentsatz von \(85\% \). Es ergibt sich\[\varepsilon = \frac{F}{4 \cdot \pi \cdot {r^2}} \cdot 85\% \Rightarrow \varepsilon = \frac{20\,\rm{cm}^2}{4 \cdot \pi \cdot \left( 30\,\rm{cm} \right)^2} \cdot 85\% = 0{,}15\% \]
c)Das die Bewegung durch das Strahlrohr als gleichförmig angenommen werden kann, berechnet sich die Durchflugzeit \(t\) der Strecke \(L\) durch\[L = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{L}{v} \Rightarrow t = \frac{{0{,}10{\rm{m}}}}{{2{,}2 \cdot {{10}^3}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 4{,}5 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{s}}\]Multipliziert man diese mit der Anzahl der pro Sekunde in das Strahlrohr eintretendn Neutronen, so erhält man für \(N\)\[N = 4{,}5 \cdot {10^{ - 5}}\,{\rm{s}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^9}\,\frac{1}{{\rm{s}}} = 4{,}5 \cdot {10^4}\]
d)Für die Aktivität \(A\) gilt\[A \cdot 0{,}0015 = \frac{{276}}{{60 \cdot 60\,{\rm{s}}}} \Leftrightarrow A = \frac{{276}}{{0{,}0015 \cdot 60 \cdot 60\,{\rm{s}}}} = 51\,{\rm{Bq}}\]Mit der bekannten Formel für die Aktivität\[A = N \cdot \lambda = N \cdot \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}} \Leftrightarrow {T_{1/2}} = \frac{{N \cdot \ln \left( 2 \right)}}{A}\]erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[{T_{1/2}} = \frac{{4{,}5 \cdot {{10}^4} \cdot \ln \left( 2 \right)}}{{51\,{\rm{Bq}}}} = 612\,{\rm{s}} \approx 10\,\min \]
