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Aufgabe

Fusionskraftwerk ITER (Abitur BY 1995 LK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Im Fusionsprojekt ITER soll Energie durch Fusion von Deuterium- und Tritiumkernen gewonnen werden. Der Fusionsprozess sei vom Typ \(_1^2{\rm{D}} + _1^3{\rm{T}} \to _2^4{\rm{He}} + _0^1{\rm{n}}\).

a)Berechne die Energie in \(\rm{eV}\), die bei einem Fusionsprozess frei wird. Die Kernmasse von Tritium ist \({m_{\rm{K}}}\left( {{}_1^3{\rm{T}}} \right) = 3{,}015501{\rm{u}}\). (5 BE)

b)Untersuche, wie viel Prozent dieser Energie das Neutron als kinetische Energie erhält , wenn man davon ausgeht, dass die kinetische Energien der Ausgangskerne bei diesem Prozess zu vernachlässigen sind. (Nichtrelativistische Rechnung) (8 BE)

c)Bei dem Fusionsprozess treten schnelle Neutronen auf.

Beschreibe, wie man prinzipiell schnelle Neutronen registrieren kann. (3 BE)

d)Das für den Fusionsprozess benötigte Tritium wird laufend mit Hilfe der bei diesem Prozess freiwerdenden Neutronen aus Lithium durch folgende Reaktion erbrütet: \[{}_3^6D + ..... \to {}_1^3T + ..... + 4{,}8\,\rm{MeV}\]

Vervollständige diese Reaktionsgleichung. (2 BE)

e)Der fertige Reaktor soll aus beiden Prozessen im Dauerbetrieb eine thermische Leistung von \(2500\,\rm{MW}\) erbringen.

Berechne, welche Masse an Helium pro Tag als Abfallprodukt anfällt. (8 BE)

Wegen der extrem hohen Temperatur sind die Teilchen ionisiert und bewegen sich mit der mittleren Geschwindigkeit  \(\bar v = 8 \cdot {10^5}\rm{\frac{m}{s}}\). Sie werden durch ein Magnetfeld von den Reaktorwänden ferngehalten.

f)Berechne, wie groß die magnetische Flussdichte sein muss , damit sich ein Deuteriumkern auf einem Kreis mit Radius \(r = 5\,\rm{mm}\) bewegen kann. (4 BE)

g)Schätze ab, welcher Temperatur des Deuteriums die angegebene Geschwindigkeit \({\bar v}\) nach der kinetischen Gastheorie entspricht. (4 BE)

Hinweis: Die hier angegebene Kernmasse wurde berechnet aus der in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommasse abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}(_1^2D) + {m_{\rm{K}}}\left( {_1^3{\rm{T}}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {_0^1{\rm{p}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}(_1^2D) + {m_{\rm{K}}}\left( {_1^3{\rm{T}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_0^1{\rm{p}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2{,}013553{\rm{u}} + 3{,}015501{\rm{u}} - 4{,}001506 {\rm{u}} - 1{,}008665{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 17{,}6\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]

b)Da laut Aufgabenstellung der Impuls vor der Reaktion \(0\) ist, muss aufgrund der Impulserhaltung der Impuls nach der Reaktion ebenfalls \(0\) sein. Damit müssen die Impulse von Neutron und Helium-Kern anch der Reaktion entgegengesetzt gerichtet und betraglich gleich sein. Da die Masse des Helium-Kerns viermal so groß wie die des Neutrons ist, muss dmnach die Geschwindigkeit des Neutrons vier mal so groß wie die des Helium-Kerns sein. Damit erhält man\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,He}}}} = \frac{1}{2} \cdot 4{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot {\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2\]\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}} = \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{\rm{n}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot {\left( {4 \cdot {v_{{\rm{He}}}}} \right)^2} = 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2\]\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,ges}}}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,He}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot {\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2 + 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2 = 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2\]und schließlich\[p\%  = \frac{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}}}}{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,ges}}}}}} = \frac{{16 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2}}{{20 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2}} = 0{,}80 = 80\% \]

c)Für die Registrierung schneller Neutronen benutzt man Zählrohren, deren Wände mit Paraffin, das viele Wasserstoffkerne enthält, ausgekleidet sind. Schnelle Neutronen, die in das Zählroht gelangen, schlagen aus den Wasserstoff-Kernen schnelle Protonen heraus. Diese wiederum haben genügend große Energien, um im Zählrohr Ionisation auszulösen.

d)Die vollständige Reaktionsgleichung lautet\[_3^6{\rm{Li}} + _0^1{\rm{n}} \to _1^3{\rm{T}} + _2^4{\rm{He}} + 4{,}8\,{\rm{MeV}}\]

e)Die bei einer Reaktion insgesamt frei werdende Energie beträgt\[{E_{{\rm{Prozess}}}} = 17{,}6\,{\rm{MeV}} + 4{,}8\,{\rm{MeV}} = 22{,}4\,{\rm{MeV}}\]Die vom Reaktor an einem Tag frei gesetzte Energie berechnet sich durch \(E = P \cdot t\) zu\[{E_{{\rm{Reaktor}}{\rm{,1d}}}} = 2{,}5 \cdot {10^9}\,{\rm{W}} \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} = 2{,}16 \cdot {10^{14}}\,{\rm{J}}\]Daraus erhält man für die Anzahl der notwendigen Reaktionen\[N = \frac{{{E_{{\rm{Reaktor}}{\rm{,1d}}}}}}{{{E_{{\rm{Prozess}}}}}} = \frac{{2{,}16 \cdot {{10}^{14}}\,{\rm{J}}}}{{22{,}4 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}} = 6{,}0 \cdot {10^{25}}\]Da bei jedem Prozess ein Helium-Kern bei der Fusion und einer beim Brutprozess frei wird, ergibt sich als Masse des Abfallproduktes\[m = 2 \cdot N \cdot {m_{{\rm{He}}}} = 2 \cdot 6{,}0 \cdot {10^{25}} \cdot 4{\rm{u}} = 2 \cdot 6{,}0 \cdot {10^{25}} \cdot 4 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 0{,}80\,{\rm{kg}}\]

f)Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft. Damit ergibt sich\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} \Leftrightarrow B = \frac{{m \cdot v}}{{q \cdot r}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{2{\rm{u}} \cdot 8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{5}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = \frac{{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{ - 27}\,{\rm{kg}} \cdot 8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{5}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 3\,{\rm{T}}\]

g)Aus\[\overline {{E_{{\rm{kin}}}}}  = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot \overline {{v^2}}  = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow T = \frac{{m \cdot \overline {{v^2}} }}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}}}}\]erhält man mit\[\bar v = 0,92 \cdot \sqrt {\overline {{v^2}} }  \Rightarrow \overline {{v^2}}  = \frac{{{{\bar v}^2}}}{{{{0{,}92}^2}}}\]\[T = \frac{{m \cdot {{\bar v}^2}}}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot {{0{,}92}^2}}} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{ - 27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{3 \cdot 1{,}38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot {{0{,}92}^2}}} = 6 \cdot {10^7}\,{\rm{K}}\]