Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}(_1^2D) + {m_{\rm{K}}}\left( {_1^3{\rm{T}}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {_0^1{\rm{p}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}(_1^2D) + {m_{\rm{K}}}\left( {_1^3{\rm{T}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {_0^1{\rm{p}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2{,}013553{\rm{u}} + 3{,}015501{\rm{u}} - 4{,}001506 {\rm{u}} - 1{,}008665{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 17{,}6\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
b)Da laut Aufgabenstellung der Impuls vor der Reaktion \(0\) ist, muss aufgrund der Impulserhaltung der Impuls nach der Reaktion ebenfalls \(0\) sein. Damit müssen die Impulse von Neutron und Helium-Kern anch der Reaktion entgegengesetzt gerichtet und betraglich gleich sein. Da die Masse des Helium-Kerns viermal so groß wie die des Neutrons ist, muss dmnach die Geschwindigkeit des Neutrons vier mal so groß wie die des Helium-Kerns sein. Damit erhält man\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,He}}}} = \frac{1}{2} \cdot 4{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot {\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2\]\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}} = \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{\rm{n}}^2 = \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot {\left( {4 \cdot {v_{{\rm{He}}}}} \right)^2} = 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2\]\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,ges}}}} = {E_{{\rm{kin}}{\rm{,He}}}} + {E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot {\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2 + 16 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2 = 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2\]und schließlich\[p\% = \frac{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,n}}}}}}{{{E_{{\rm{kin}}{\rm{,ges}}}}}} = \frac{{16 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2}}{{20 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1{\rm{u}} \cdot v_{{\rm{He}}}^2}} = 0{,}80 = 80\% \]
c)Für die Registrierung schneller Neutronen benutzt man Zählrohren, deren Wände mit Paraffin, das viele Wasserstoffkerne enthält, ausgekleidet sind. Schnelle Neutronen, die in das Zählroht gelangen, schlagen aus den Wasserstoff-Kernen schnelle Protonen heraus. Diese wiederum haben genügend große Energien, um im Zählrohr Ionisation auszulösen.
d)Die vollständige Reaktionsgleichung lautet\[_3^6{\rm{Li}} + _0^1{\rm{n}} \to _1^3{\rm{T}} + _2^4{\rm{He}} + 4{,}8\,{\rm{MeV}}\]
e)Die bei einer Reaktion insgesamt frei werdende Energie beträgt\[{E_{{\rm{Prozess}}}} = 17{,}6\,{\rm{MeV}} + 4{,}8\,{\rm{MeV}} = 22{,}4\,{\rm{MeV}}\]Die vom Reaktor an einem Tag frei gesetzte Energie berechnet sich durch \(E = P \cdot t\) zu\[{E_{{\rm{Reaktor}}{\rm{,1d}}}} = 2{,}5 \cdot {10^9}\,{\rm{W}} \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} = 2{,}16 \cdot {10^{14}}\,{\rm{J}}\]Daraus erhält man für die Anzahl der notwendigen Reaktionen\[N = \frac{{{E_{{\rm{Reaktor}}{\rm{,1d}}}}}}{{{E_{{\rm{Prozess}}}}}} = \frac{{2{,}16 \cdot {{10}^{14}}\,{\rm{J}}}}{{22{,}4 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}60 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}} = 6{,}0 \cdot {10^{25}}\]Da bei jedem Prozess ein Helium-Kern bei der Fusion und einer beim Brutprozess frei wird, ergibt sich als Masse des Abfallproduktes\[m = 2 \cdot N \cdot {m_{{\rm{He}}}} = 2 \cdot 6{,}0 \cdot {10^{25}} \cdot 4{\rm{u}} = 2 \cdot 6{,}0 \cdot {10^{25}} \cdot 4 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 0{,}80\,{\rm{kg}}\]
f)Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft. Damit ergibt sich\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot v \cdot B = m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} \Leftrightarrow B = \frac{{m \cdot v}}{{q \cdot r}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{2{\rm{u}} \cdot 8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{5}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = \frac{{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{ - 27}\,{\rm{kg}} \cdot 8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{5}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 3\,{\rm{T}}\]
g)Aus\[\overline {{E_{{\rm{kin}}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot \overline {{v^2}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow T = \frac{{m \cdot \overline {{v^2}} }}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}}}}\]erhält man mit\[\bar v = 0,92 \cdot \sqrt {\overline {{v^2}} } \Rightarrow \overline {{v^2}} = \frac{{{{\bar v}^2}}}{{{{0{,}92}^2}}}\]\[T = \frac{{m \cdot {{\bar v}^2}}}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot {{0{,}92}^2}}} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{ - 27}\,{\rm{kg}} \cdot {{\left( {8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{3 \cdot 1{,}38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}} \cdot {{0{,}92}^2}}} = 6 \cdot {10^7}\,{\rm{K}}\]
