Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des thür. Kultusministeriums.
a)Die gesamte frei werdende Energie ergibt sich aus\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^2{\rm{D}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^3{\rm{T}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_0^1{\rm{n}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^2{\rm{D}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^3{\rm{T}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_0^1{\rm{n}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2{,}014102{\rm{u}} + 3{,}016049{\rm{u}} - 4{,}002603{\rm{u}} - 1{,}008665{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot 935{,}5\,{\rm{MeV}}\\ &=& 17{,}7\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Da nur \(80\%\) der Energie in die Energie des Neutrons umgesetzt werden folgt \[{E_{{\rm{kin}}}} = 0{,}80 \cdot 17{,}7\,\rm{MeV} = 14{,}1\,{\rm{MeV}} = 14{,}1 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{J}} = 2{,}26 \cdot {10^{ - 12}}\,{\rm{J}}\]
b)Zur Überwindung der elektrostatischen Abstoßung ist eine sehr hohe kinetische Energie der Teilchen notwendig. Die dazu notwendige (mittlere) Geschwindigkeit erreicht man nur durch sehr hohe Temperaturen. Nach der kinetischen Gastheorie ist die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens
\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \quad(1)\]
Außerdem muss gelten
\[2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} = \left| {\int\limits_\infty ^r {\frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}dr} } \right| = \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\quad(2)\]
Einsetzen von \((1)\) in \((2)\) ergibt
\[2 \cdot \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T = \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r} \Leftrightarrow T = \frac{{{e^2}}}{{12 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot r \cdot {k_{\rm{B}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[T = \frac{{{{\left( {1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{12 \cdot \pi \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot 5 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot 1{,}38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}}}} = 1{,}1 \cdot {10^9}\,{\rm{K}}\]
c)Die elektrische Ausgabeenergie in einem Jahr beträgt
\[{E_{{\rm{el}}}} = {\rm{ }}365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^9}\,{\rm{W}} = 3{,}15 \cdot {10^{16}}\,{\rm{J}}\]
Die Wärmeenergie in einem Jahr beträgt
\[{E_{\rm{W}}} = \frac{{3{,}15 \cdot {{10}^{16}}{\rm{J}}}}{{0{,}35}} = 9{,}0 \cdot {10^{16}}\,{\rm{J}}\]
Teilt man dies durch den Q-Wert aus Teilaufgabe a), so erhält man die Anzahl der Fusionsprozesse
\[N = \frac{{9{,}0 \cdot {{10}^{16}}\,{\rm{J}}}}{{2{,}26 \cdot {{10}^{ - 12}}\,{\rm{J}}}} = 4{,}0 \cdot {10^{28}}\]
d)Die benötigte Masse Deuterium ist\[m = N \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^2{\rm{D}}} \right) = 4{,}0 \cdot {10^{28}} \cdot 2{,}01 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 133\,{\rm{kg}}\]
e)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_3^7{\rm{Li}} + {}_0^1{\rm{n}} \to {}_1^3{\rm{T}} + {}_2^4{\rm{He}} + {}_0^1{\rm{n}}\]
f)Die benötigte Masse Lithium ist \[m = N \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {{}_3^7{\rm{Li}}} \right) = 4{,}0 \cdot {10^{28}} \cdot 7{,}02 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 466\,{\rm{kg}}\]
