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Aufgabe

Fusionsreaktor (Abitur TH 2001 LK A-A1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In einem zukünftigen Fusionsreaktor soll die Reaktion \({}_1^2{\rm{D}} + {}_1^3{\rm{T}} \to {}_2^4{\rm{He}} + {}_0^1{\rm{n}}\) zur Energiegewinnung genutzt werden. Bei diesem Prozess werden 80% der frei gesetzten Energie in kinetische Energie der Neutronen umgesetzt.

Verwenden Sie für die nachfolgenden Rechnungen die folgenden Atommassen:

Nuklid Atommasse
Deuterium (\({}_1^2{\rm{D}}\)) \(2{,}014102\rm{u}\)
Tritium (\({}_1^3{\rm{T}}\)) \(3{,}016049\rm{u}\)
Helium (\({}_2^4{\rm{He}}\)) \(4{,}002603\rm{u}\)
Lithium-7 (\({}_3^7{\rm{Li}}\)) \(7{,}016003\rm{u}\)
Neutron (\({}_0^1{\rm{n}}\)) \(1{,}008665\rm{u}\)

a)Berechnen Sie die kinetische Energie eines Neutrons. [Kontrollergebnis: \({E_{{\rm{kin}}}} = 2{,}26 \cdot {10^{ - 12}}\,{\rm{J}}\)]

Das Bild zeigt das vereinfachte Schema dieses zukünftigen Fusionsreaktors. Im Inneren findet der angegebene Fusionsprozess statt. Die Neutronen gelangen in die Brutzone und werden abgebremst. Die entstehende Wärme wird über einen Wärmetauscher an die Turbine weiter gegeben. An die Turbine ist ein Generator gekoppelt.

b)Begründen Sie, dass für den Reaktionsvorgang im Innern des Reaktors eine sehr hohe Temperatur erforderlich ist. Zum Ablauf der Reaktion müssen sich das Deuteriumatom und das Tritiumatom auf eine Entfernung von \(r = 5 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\) annähern. Berechnen Sie die dazu notwendige Temperatur unter der stark vereinfachten Annahme, dass beide Atome beim zentralen Stoß die mittlere kinetische Energie eines Gasatoms abgeben. Anmerkung: Die gemachte Näherung ist sehr grob. In Wirklichkeit wird bei einem Stoß unterschiedlich schwerer Atome weniger als die Summe beider Energien übertragen. Außerdem haben die Gasatome eine Geschwindigkeitsverteilung, so dass schon bei geringeren Temperaturen als der zu berechnenden Annäherungen der obigen Art vorkommen können.

Der Betrieb eines Kraftwerkes soll mit dem beschriebenen Fusionsreaktor erfolgen. Die elektrische Leistung des Kraftwerkes betrage \(P = 1000{\rm{MW}}\). Die Turbine des Kraftwerkes hat den thermischen Wirkungsgrad \(\eta  = 35\% \).

c)Geben Sie die Anzahl der Fusionsvorgänge an, die nach einjähriger Betriebsdauer im Reaktor stattfinden. [Kontrollergebnis: \(N \approx 4{,}0 \cdot {10^{28}}\)]

d)Berechnen Sie die Masse Deuterium, die für einen einjährigen Betrieb des Kraftwerkes benötigt wird.

In der Brutzone findet neben dem Wärmeaustausch das Erbrüten des zweiten Ausgangsproduktes Tritium statt. Dazu wird in die Brutzone Lithium eingebracht. Die Lithiumkerne \({}_3^7{\rm{Li}}\) werden von den aus dem Zentrum kommenden Neutronen getroffen. Dabei entstehen Tritium und Helium.

e)Stellen Sie die Reaktionsgleichung auf.

f)Berechnen Sie die Masse Lithium, die für einen einjährigen Betrieb des Kraftwerkes benötigt wird.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des thür. Kultusministeriums.

a)Die gesamte frei werdende Energie ergibt sich aus\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^2{\rm{D}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^3{\rm{T}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_0^1{\rm{n}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^2{\rm{D}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^3{\rm{T}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_2^4{\rm{He}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {{}_0^1{\rm{n}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2{,}014102{\rm{u}} + 3{,}016049{\rm{u}} - 4{,}002603{\rm{u}} - 1{,}008665{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot 935{,}5\,{\rm{MeV}}\\ &=& 17{,}7\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Da nur \(80\%\) der Energie in die Energie des Neutrons umgesetzt werden folgt \[{E_{{\rm{kin}}}} = 0{,}80 \cdot 17{,}7\,\rm{MeV} = 14{,}1\,{\rm{MeV}} = 14{,}1 \cdot 10^6 \cdot 1{,}602 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{J}} = 2{,}26 \cdot {10^{ - 12}}\,{\rm{J}}\]

b)Zur Überwindung der elektrostatischen Abstoßung ist eine sehr hohe kinetische Energie der Teilchen notwendig. Die dazu notwendige (mittlere) Geschwindigkeit erreicht man nur durch sehr hohe Temperaturen. Nach der kinetischen Gastheorie ist die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens \[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \quad(1)\] Außerdem muss gelten \[2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} = \left| {\int\limits_\infty ^r {\frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}dr} } \right| = \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\quad(2)\] Einsetzen von \((1)\) in \((2)\) ergibt \[2 \cdot \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T = \frac{{{e^2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r} \Leftrightarrow T = \frac{{{e^2}}}{{12 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot r \cdot {k_{\rm{B}}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[T = \frac{{{{\left( {1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{12 \cdot \pi \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot 5 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot 1{,}38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}}}} = 1{,}1 \cdot {10^9}\,{\rm{K}}\]

c)Die elektrische Ausgabeenergie in einem Jahr beträgt \[{E_{{\rm{el}}}} = {\rm{ }}365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^9}\,{\rm{W}} = 3{,}15 \cdot {10^{16}}\,{\rm{J}}\] Die Wärmeenergie in einem Jahr beträgt \[{E_{\rm{W}}} = \frac{{3{,}15 \cdot {{10}^{16}}{\rm{J}}}}{{0{,}35}} = 9{,}0 \cdot {10^{16}}\,{\rm{J}}\] Teilt man dies durch den Q-Wert aus Teilaufgabe a), so erhält man die Anzahl der Fusionsprozesse \[N = \frac{{9{,}0 \cdot {{10}^{16}}\,{\rm{J}}}}{{2{,}26 \cdot {{10}^{ - 12}}\,{\rm{J}}}} = 4{,}0 \cdot {10^{28}}\]

d)Die benötigte Masse Deuterium ist\[m = N \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {{}_1^2{\rm{D}}} \right) = 4{,}0 \cdot {10^{28}} \cdot 2{,}01 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 133\,{\rm{kg}}\]

e)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_3^7{\rm{Li}} + {}_0^1{\rm{n}} \to {}_1^3{\rm{T}} + {}_2^4{\rm{He}} + {}_0^1{\rm{n}}\]

f)Die benötigte Masse Lithium ist \[m = N \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {{}_3^7{\rm{Li}}} \right) = 4{,}0 \cdot {10^{28}} \cdot 7{,}02 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 466\,{\rm{kg}}\]