a)Die Summe der (gleich großen) kinetischen Energien \(E_{\rm{kin}}\) der beiden Protonen muss (mindestens) genau so groß sein wie die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) der beiden Protonen, wenn sie sich "berühren". Dann ist der Abstand \(r\) ihrer Mittelpunkte genau das Doppelte des Protonenradius \(r_{\rm{p}}\). Es gilt\[2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow 2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left( { + e} \right) \cdot \left( { + e} \right)}}{{2 \cdot {r_{\rm{p}}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{8 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left( { + e} \right) \cdot \left( { + e} \right)}}{{2 \cdot {r_{\rm{p}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{8 \cdot \pi \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} \cdot \frac{{{{\left( {1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 0,88 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}} = 6,54 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{J}} = 41\,{\rm{keV}}\]Aus der Formel für die mittlere thermische Energie \(\bar E\) eines freien Teilchens bei der Temperatur \(T\)erhält man\[\bar E = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow T = \frac{{2 \cdot \bar E}}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}}}} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot 6{,}54 \cdot {{10}^{ - 14}}{\rm{J}}}}{{3 \cdot 1{,}38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}}}} = 3{,}16 \cdot {10^9}\,{\rm{K}}\]
b)Bei dieser Reaktion findet ein Beta-Plus-Zerfall des Protons statt. Dabei wandelt sich ein up-Quark im Proton unter Aussendung eines \(\rm{W}^+\)-Teilchens in ein down-Quark um, so dass aus dem Proton ein Neutron wird. Das \(\rm{W}^+\)-Teilchen zerfällt noch innerhalb des Neutrons in ein Positron und ein Elektron-Neutrino, die das Neutron dann beide verlassen.
c)Die freigesetzte Energie ergibt sich aus \[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {^1{\rm{H}}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {^2{\rm{H}}} \right) + {m_{{{\rm{e}}^ + }}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {^1{\rm{H}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {^2{\rm{H}}} \right) - {m_{{{\rm{e}}^ + }}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot 1{,}007276{\rm{u}} - 2{,}013553{\rm{u}} - 0{,}000549{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000450 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}000450 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 0{,}42\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
d)Es lässt sich stets ein Bezugssystem angeben, in dem der Gesamtimpuls von Elektron und Positron (Impuls vor der Reaktion) Null ist. Betrachtet man von diesem System aus den Gesamtimpuls nach der Reaktion, so ist dieser verschieden von Null, da sich ein Gammaquant in jedem System mit der Lichtgeschwindigkeit bewegt und somit einen von Null verschiedenen Impuls besitzt. Dies wäre aber dann ein Widerspruch zum Impulserhaltungssatz, weshalb die Paarvernichtung unter Entstehung nur eines Gammaquants nicht möglich ist.
e)Die Energie ergibt sich aus\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{{{\rm{e}}^ + }}} + {m_{{{\rm{e}}^ - }}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot 0,0005486{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,0010972 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0,0010972 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 1,02{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
f)Hier errechnet sich die Energie aus \[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{K}}}\left( {^2{\rm{H}}} \right) + {m_{\rm{K}}}\left( {^1{\rm{H}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {^3{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2,013553{\rm{u}} + 1,007276{\rm{u}} - 3,014932{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,005897 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0,005897 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 5,49{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
g)Mit \({r_{^3{\rm{He}}}} = 1{,}25 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{3} = 1,80 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{m}}\) erhält man durch analoge Überlegungen wie in Teilaufgabe a)\[2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow 2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left( { + 2e} \right) \cdot \left( { + 2e} \right)}}{{2 \cdot {r_{^3{\rm{He}}}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{8 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left( { + 2e} \right) \cdot \left( { + 2e} \right)}}{{2 \cdot {r_{^3{\rm{He}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{{8 \cdot \pi \cdot 8{,}85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}} \cdot \frac{{4 \cdot {{\left( {1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1{,}80 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{m}}}} = 1{,}28 \cdot {10^{ - 13}}\,{\rm{J}} = 800\,{\rm{keV}}\]Analog zu Teilaufgabe a) erhält man\[\bar E = \frac{3}{2} \cdot {k_{\rm{B}}} \cdot T \Leftrightarrow T = \frac{{2 \cdot \bar E}}{{3 \cdot {k_{\rm{B}}}}} \Rightarrow T = \frac{{2 \cdot 1{,}28 \cdot {{10}^{ - 13}}{\rm{J}}}}{{3 \cdot 1{,}38 \cdot {{10}^{ - 23}}\frac{{\rm{J}}}{{\rm{K}}}}} = 6{,}2 \cdot {10^9}\,{\rm{K}}\]
h)Die freiwerdende Energie beträgt\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {^3{\rm{He}}} \right) - \left( {{m_{\rm{K}}}\left( {^4{\rm{He}}} \right) + 2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {^1{\rm{H}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {^3{\rm{He}}} \right) - {m_{\rm{K}}}\left( {^4{\rm{He}}} \right) - 2 \cdot {m_{\rm{K}}}\left( {^1{\rm{H}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {2 \cdot 3,014932{\rm{u}} - 4,001506{\rm{u}} - 2 \cdot 1,007276{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0,013806 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& 0,013806 \cdot 931,49{\rm{MeV}}\\ &=& 12,86{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
i)Insgesamt ist \[\Delta E = 2 \cdot 0{,}42\,{\rm{MeV}} - 2 \cdot 0{,}26\,{\rm{MeV}} + 2 \cdot 1{,}02\,{\rm{MeV}} + 2 \cdot 5{,}49\,{\rm{MeV}} + 12{,}86\,{\rm{MeV}} = 26{,}20\,{\rm{MeV}}\]
Hinweis: Die hier angegebenen Kernmassen wurden berechnet aus den in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommassen abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.
