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Aufgabe

Fusion in der Sonne (Abitur BY 1996 LK A4-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In der Sonne wird durch Fusion von Wasserstoff Helium erzeugt. Ein He-Kern entsteht aus vier Protonen und zwei Elektronen über mehrere Zwischenstufen, die hier außer acht gelassen werden.

a)Berechne die Energieausbeute bei der Fusion von Protonen zu \(1\,\rm{kg}\) Helium. [zur Kontrolle: \(6 \cdot {10^{14}}\,{\rm{J}}\)] (6 BE)

a)Die Masse der Sonne beträgt \(2 \cdot {10^{30}}\,{\rm{kg}}\), ihr Alter rund 5 Milliarden Jahre. Sie strahlt jährlich eine Energie von \(1{,}2 \cdot {10^{34}}\,{\rm{J}}\) ab.

Schätze ab, wie viel Prozent der Sonnenmasse seit "Geburt" der Sonne in Helium verwandelt wurden. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die bei einem Fusionsprozess freiwerdene Energie berechnet sich zu\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {4 \cdot {m_{\rm{p}}} + 2 \cdot {m_{\rm{e}}} - {m_{\rm{K}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {4 \cdot 1,007276{\rm{u}} + 2 \cdot 0,000549{\rm{u}} - 4,001506 {\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}028696 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}028696 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 26{,}7\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Zur Fusion von \(1\,\rm{kg}\) Helium sind somit \[N = \frac{{1\,{\rm{kg}}}}{{4{\rm{u}}}} = \frac{{1\,{\rm{kg}}}}{{4 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{ - 19}\,\rm{kg}}} = 1{,}5 \cdot {10^{26}}\] Fusionsprozesse nötig, bei denen eine Energie von\[E = N \cdot \Delta E = 1{,}5 \cdot {10^{26}} \cdot 26{,}7\,{\rm{MeV}} = 1{,}5 \cdot {10^{26}} \cdot 26{,}7 \cdot {10^6} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{ - 19}\,{\rm{As}} \cdot {\rm{V}} = 6{,}4 \cdot {10^{14}}\,{\rm{J}}\]frei gesetzt wird.

b)Die in 5 Milliarden Jahren abgestrahlte Energie beträgt\[{E_{{\rm{ges}}}} = 5 \cdot {10^9}\,{\rm{a}} \cdot {\rm{1}}{\rm{,2}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{34}}\,\frac{{\rm{J}}}{{\rm{a}}} = 6 \cdot {10^{43}}\,{\rm{J}}\]Die Masse des dabei erzeugten Heliums beträgt\[{m_{{\rm{He}}}} = \frac{{{E_{{\rm{ges}}}}}}{{\frac{E}{{{\rm{kg}}}}}} = \frac{{6 \cdot {{10}^{43}}{\rm{J}}}}{{6 \cdot {{10}^{14}}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 1 \cdot {10^{29}}\,{\rm{kg}}\]und damit\[p\%  = \frac{{{m_{{\rm{He}}}}}}{{{m_{{\rm{Sonne}}}}}} = \frac{{1 \cdot {{10}^{29}}{\rm{kg}}}}{{2 \cdot {{10}^{30}}{\rm{kg}}}} = 0{,}05 = 5\% \]der Sonnenmasse.

Hinweis: Die hier angegebene Kernmasse wurde berechnet aus der in der vom AMDC-Atomic Mass Data Center im Rahmen der AME2016 angegebenen Atommasse abzüglich der Masse der Elektronen ohne Berücksichtigung der Bindungsenergie der Elektronen, die lediglich in der Größenordnung von wenigen \(\rm{eV}\) liegt.