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Aufgabe

Kernfusionsreaktor ITER (Abitur BY 2019 Ph12-2 A1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In Südfrankreich wird seit 2007 der Kernfusionsreaktor ITER gebaut. Eine Reaktion, die dort stattfinden soll, ist die Fusion eines Deuteriumkerns \({}_1^2{{\rm{H}}^ + }\) (\(m_{{\rm{A}}{\rm{,Deuterium}}} = 2{,}013553\,\rm{u}\)) mit einem Tritiumkern \({}_1^3{{\rm{H}}^ + }\) (\(m_{{\rm{A}}{\rm{,Tritium}}} = 3{,}015501\,\rm{u}\)). Hierbei entsteht neben einem neuen Atomkern noch ein freies Neutron.

a)Bei einer Temperatur von \(100\,{\rm{Mio.}}\,^\circ {\rm{C}}\) beträgt im Mittel die kinetische Energie eines Deuterium- bzw. Tritiumkerns etwa \(13\,\rm{keV}\).

Gib die Ionisierungsenergie eines Wasserstoffatoms an.

Begründe, dass es bei Temperaturen im Reaktor von ca. \(100\,{\rm{Mio.}}\,^\circ {\rm{C}}\) nur vollständig ionisierte Deuterium- und Tritiumatome gibt. (4 BE)

b)Gib die Reaktionsgleichung für die Fusion von einem Deuterium- mit einem Tritiumkern an.

Bestimme den Q-Wert der Reaktion. [zur Kontrolle: \(Q = 17{,}6\,\rm{MeV}\)] (6 BE)

c)Schätze die Masse des jährlich für einen zukünftigen Kernfusionsreaktor benötigten Tritiums ab, wenn dieser eine Leistung von \(3{,}0\,\rm{GW}\) haben soll. (4 BE)

Da Tritium in der Natur sehr selten ist, soll ein zukünftiger Fusionsreaktor die in Teilaufgabe c) berechnete Menge an Tritium vollständig selbst „erbrüten“. Dazu bringt man in die Reaktorwände das Lithiumisotop \({}_{}^6{\rm{Li}}\) ein. Wird dieses Lithium von einem Neutron getroffen, entstehen Tritium und Helium \({}_{}^4{\rm{He}}\); dabei wird pro Reaktion die Energie \(4{,}78\,\rm{MeV}\) frei.

d)Bestimme den Faktor, um den sich hierdurch die Leistung des Reaktors im Idealfall erhöhen würde. (2 BE)

e)Begründe, dass sowohl bei Inbetriebnahme als auch im laufenden Betrieb des Reaktors Neutronen von außen zugeführt werden müssen, obwohl bei der Fusion Neutronen frei werden. (4 BE)

Abb. 1 Potentielle Energie in Abhängigkeit vom Abstand

f)Die nebenstehende Abbildung zeigt qualitativ einen Ausschnitt des Verlaufs der potentiellen Energie eines Deuteriumkerns im Abstand \(r\) zu einem Tritiumkern.

Erkläre den Verlauf der potentiellen Energie.

Begründe, dass es zur Fusionsreaktion kommen kann, obwohl die kinetische Energie der beiden Reaktionspartner deutlich unterhalb der Energie \(E^*\) liegt. (8 BE)

g)Bewerte den Einsatz eines Fusionsreaktors zur Energieversorgung, indem du jeweils zwei Argumente für und gegen diese Technologie abwägst. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Ionisierungsenergie eines Wasserstoff-, Deuterium oder Tritiumatoms ist ca. \(13{,}6\,\rm{eV}\). Die mittlere kinetische Energie der Deuterium- und Tritiumkerne bei \(100 \cdot {10^6}\,^\circ{\rm{C}}\) ist mit \(13\,\rm{keV}\) um drei Größenordnungen höher, so dass davon auszugehen ist, dass die Deuterium- und Tritiumatome vollständig ionisiert sind.

b)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_1^2{{\rm{H}}^ + } + {}_1^3{{\rm{H}}^ + } \to {}_2^4{\rm{He}}^{++} + {}_0^1{\rm{n}}\]Der \(Q\)-Wert berechnet sich durch\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left( {{m_{{\rm{A}}{\rm{,Deuterium}}}} + {m_{{\rm{A}}{\rm{,Tritium}}}} - \left( {{m_\alpha } + {m_{\rm{n}}}} \right)} \right) \cdot {c^2}\\ &=& \left( {{m_{{\rm{A}}{\rm{,Deuterium}}}} + {m_{{\rm{A}}{\rm{,Tritium}}}} - {m_\alpha } - {m_{\rm{n}}}} \right) \cdot {c^2}\\ &=& \left( {2{,}014102\,{\rm{u}} + 3{,}016049\,{\rm{u}} - 4{,}002603\,{\rm{u}} - 1{,}008665\,{\rm{u}}} \right) \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883\,{\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}018883 \cdot 931{,}79\,{\rm{MeV}}\\ &=& 17{,}6\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]

c)Die in einem Jahr zur Verfügung gestellte Energie berechnet sich durch\[E_{1\,\rm{Jahr}} = P \cdot \Delta t \Rightarrow E_{1\,\rm{Jahr}} = 2{,}99 \cdot 10^9\,\rm{W} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,\rm{s} = 9{,}50 \cdot 10^{16}\,\rm{J} = 9{,}50 \cdot 10^{16} \cdot 6{,}24 \cdot 10^{12}\,\rm{MeV} = 5{,}90 \cdot 10^{29}\,\rm{MeV}\]Die Zahl \(N\) der notwendigen Kernreaktionen ist dann\[N = \frac{{{E_{1\,{\rm{Jahr}}}}}}{Q} \Rightarrow N = \frac{{5{,}90 \cdot {{10}^{29}}\,{\rm{MeV}}}}{{17{,}6\,{\rm{MeV}}}} = 3{,}35 \cdot {10^{28}}\]Die erforderliche Masse von Tritium in einem Jahr ergibt sich dann zu\[m_{\rm{Tritium,}\,1\,\rm{Jahr}} = N \cdot {m_{{\rm{A,Tritium}}}} = 3{,}35 \cdot {10^{28}} \cdot 3{,}02\,{\rm{u}} = 3{,}35 \cdot {10^{28}} \cdot 3{,}02 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 168\,{\rm{kg}}\]

d)Der Energiegewinn pro Fusionsreaktion beträgt lt. Teilaufgabe b) \(17{,}6\,\rm{MeV}\), der Energiegewinn pro Brutreaktion \(4{,}78\,\rm{MeV}\). Der „Erhöhungs-Faktor“ beträgt somit\[\frac{{17{,}6\,\rm{MeV} + 4{,}78\,\rm{MeV}}}{{17{,}6\,\rm{MeV}}} = 1{,}27\]

e)Um die ersten Fusionsreaktionen in Gang zu bringen müssen von außen Neutronen zugeführt werden damit Tritium „erbrütet“ wird. Da bei jeder Fusionsreaktion ein Neutron entsteht, könnte man meinen, dass damit der Brutprozess aufrechterhalten kann. Da aber ein Teil der Neutronen den Fusionsreaktor verlässt, müssen weiterhin zusätzliche Neutronen zugeführt werden.

f)Der Verlauf der potentiellen Energie wird durch zwei Kraftarten bestimmt:

• Der abstoßenden COULOMB-Kraft mit großer Reichweite.

• Der anziehenden Kernkraft mit geringer Reichweite.

Bei größerer Entfernung dominiert die abstoßende COULOMB-Kraft zwischen den positiv geladenen Kernen, die umso größer wird, je weiter sich die Kerne annähern. In diesem Fall nimmt die potentielle Energie des Systems aus Deuterium- und Tritium-Kern zu.

Ab einer Entfernung, die in der Größenordnung von \(10^{-15}\,\rm{m}\) liegt, wirkt die anziehende Kernkraft, die potentielle Energie nimmt ab und wird sogar negativ.

Damit es zur Fusion kommt müssen sich die beiden Kerne so nahekommen, dass die Kernkraft zum Wirken kommt. Obwohl die Summe der kinetischen Energien beider Fusionspartner kleiner als \(E^*\) ist, kann es aufgrund des quantenmechanischen Tunneleffekts zur Fusion kommen.

g)Pro:

• Die Reaktionsprodukte Deuterium und Tritium sind in größerem Umfang auf der Erde vorhanden als spaltbare Materialien.

• Insgesamt kommt es bei der Fusionsreaktion zu geringeren radioaktiven Belastungen für die Umwelt als im Vergleich zu den Spaltreaktionen.

Contra:

• Man versucht seit ca. 1965 Fusionsreaktoren zu bauen und war anfangs sehr optimistisch bald eine praktikable technische Lösung zu besitzen. Beim Ziel stabile Plamen herzustellen traten immer neue Probleme auf. Das Volumen der Reaktoren musste vergrößert werden, was die Kosten für diese Bauwerke enorm in die Höhe trieb.

• Aufgrund der hohen Kosten eines Fusionsreaktors ist momentan nur eine sehr zentralisierte Energieversorgung denkbar, was bei einem Störfall große Probleme bereiten würde.