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Aufgabe

Berechnungen am Spaltreaktor

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Ein Spaltreaktor liefert die elektrische Leistung von ca. \(1000\,{\rm{MW}}\). Der Wirkungsgrad des Reaktors sei \(\eta  = 30\% \).

a)Berechne über die EINSTEIN'sche Beziehung die pro Jahr "vernichtete" Masse.

b)Berechne, wie viel U-235 pro Jahr benötigt wird, wenn bei der Spaltung eines Kerns die Energie von ca. \(200\,{\rm{MeV}}\) frei wird.

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a)Berechnung der gesamten elektrischen Energie, die in einem Jahr abgegeben wird: \[\Delta {E_{{\rm{el}}}} = {P_{{\rm{el}}}} \cdot \Delta t \Rightarrow \Delta {E_{{\rm{el}}}} = 1000 \cdot {10^6}\,{\rm{W}} \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} \cdot=3{,}15 \cdot {10^{16}}\,{\rm{J}}\] Für die gesamte Energie \({\Delta {E_{{\rm{ges}}}}}\), welche durch Spaltung des Uran freigesetzt werden muss, gilt: \[\eta=\frac{{\Delta {E_{{\rm{el}}}}}}{{\Delta {E_{{\rm{ges}}}}}} \Leftrightarrow \Delta {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{\Delta {E_{{\rm{el}}}}}}{\eta } \Rightarrow \Delta {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{3{,}15 \cdot {{10}^{16}}{\rm{J}}}}{{0{,}30}} = 1{,}1 \cdot {10^{17}}\,{\rm{J}}\] Für die pro Jahr "vernichtete" Masse gilt nach der Einsteinschen Beziehung: \[\Delta {E_{{\rm{ges}}}} = \Delta m \cdot {c^2} \Leftrightarrow \Delta m = \frac{{\Delta {E_{{\rm{ges}}}}}}{{{c^2}}} \Rightarrow \Delta m = \frac{{1{,}05 \cdot {{10}^{17}}{\rm{J}}}}{{{{\left( {2{,}998 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 1{,}2\,{\rm{kg}}\]

b)Berechnung der Zahl der benötigten U-235-Kerne: \[{N_{{{\rm{U}}_{{\rm{235}}}}}} = \frac{{\Delta {E_{{\rm{ges}}}}}}{{\Delta {E_{{\rm{reaktion}}}}}} \Rightarrow {N_{{{\rm{U}}_{{\rm{235}}}}}} = \frac{{1{,}05 \cdot {{10}^{17}}{\rm{J}}}}{{200 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}} = 3{,}28 \cdot {10^{27}}\] Berechnung der Masse dieser Anzahl von Uran-235 Kernen: \[m = {N_{{{\rm{U}}_{{\rm{235}}}}}} \cdot 235 \cdot u \Rightarrow m = 3{,}277 \cdot {10^{27}} \cdot 235 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 1{,}3\,{\rm{t}}\]