Kernreaktionen

Kern-/Teilchenphysik

Kernreaktionen

  • Wie groß sind die Bindungsenergien?
  • Was ist der Massendefekt?
  • Wie berechnet man die Energiebilanz bei Kernreaktionen?

Zerlegt man einen Kern, bestehend aus \(Z\) Protonen und \(N\) Neutronen, in seine Bestandteile und sind die Kernbausteine (Nukleonen) soweit voneinander entfernt, dass weder die elektrische Abstoßungskraft zwischen den Protonen noch die starke Kernkraft zwischen den Nukleonen eine Rolle spielen, so ist die Gesamtenergie \(E_{\rm{vor}}\) der Bausteine nach der EINSTEIN'schen Masse-Energie-Beziehung zu berechnen:\[{E_{\rm{vor}}} = \left( {Z \cdot m\left( {{}_1^1\rm{p}} \right) + N \cdot m\left( {{}_0^1\rm{n}} \right)} \right) \cdot {c^2}\]Baut man die Nukleonen zu einem Kern \(\rm{X}\) zusammen, so verliert das System aufgrund der anziehenden Kräfte zwischen Nukleonen an Energie, die Gesamtenergie nach dem Zusammenbau \(E_{\rm{nach}}\) wird nun kleiner sein. Wegen der Äquivalenz von Masse und Energie wird auch die Masse mk des Kerns kleiner sein als die Summe der Massen der Einzelbausteine. Für \(E_{\rm{nach}}\) gilt\[{E_{nach}} = m\left( {{}_{Z\;\;}^{Z + N}\rm{X}} \right) \cdot {c^2}\]Je stärker die Bindungskräfte zwischen den zum Kern zusammengefügten Nukleonen ist, desto kleiner wird der Betrag von \(E_{\rm{nach}}\) ausfallen.

1 Massenverlust von Proton und Neutron bei der Verbindung zu Deuterium

Die Energiedifferenz \(E_{\rm{vor}}-E_{\rm{nach}}\) wird als Bindungsenergie \(B\) des Kerns bezeichnet. Es gilt:
\[B = {E_{vor}} - {E_{nach}} = \left( {Z \cdot m\left( {_1^1p} \right) + N \cdot m\left( {_0^1n} \right)} \right) \cdot {c^2} - m\left( {{}_{Z\;\;}^{Z + N}X} \right) \cdot {c^2} = \left( {Z \cdot m\left( {_1^1p} \right) + N \cdot m\left( {_0^1n} \right) - m\left( {{}_{Z\;\;}^{Z + N}\rm{X}} \right)} \right) \cdot {c^2}\]

Wie du in Artikel zur EINSTEIN'schen Beziehung gelernt hast, ist der Ausdruck in der eckigen Klammer aber gerade der Massendefekt \(\Delta m\). Somit gilt:

Die Bindungsenergie \(B\) ist die beim Zusammenbau eines Kerns aus seinen Einzelbausteinen freiwerdende Energie. Sie hat ein positives Vorzeichen (exothermer Vorgang) und den Wert\[B = \Delta m \cdot {c^2}\]Unter der mittleren Bindungsenergie pro Nukleon versteht man die Bindungsenergie bezogen auf ein Nukleon. Die mittlere Bindungsenergie hat den Wert \(\frac{B}{A}\). Dabei ist \(A\) die Nukleonen- oder auch Massezahl.

Hinweis: Beim Berechnen von Bindungsenergien benötigst du häufig den Wert \(\rm{u} \cdot {c^2}\) in der Maßeinheit \({\rm{eV}}\). Hierfür gilt\[\rm{u} \cdot {c^2} = 1,66054 \cdot {10^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {\left( {2,99792 \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 1,49241 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{J}} = \frac{{1,49241 \cdot {{10}^{ - 10}}}}{{1,60218 \cdot {{10}^{ - 19}}}}{\rm{eV}} = 9,3149 \cdot {10^8}{\rm{eV}} = 931,49{\rm{MeV}}\]

Bindungsenergie des Deuterons

Berechne mit Hilfe der Daten der Formelsammlung den Massendefekt und die Bindungsenergie des Deuterons (Wasserstoffisotop mit einem Proton und einem Neutron im Kern).

Berechne die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon im Deuteron.

Erläutere, ob im Allgemeinen ein schwerer oder ein leichter Kern die höhere Bindungsenergie haben wird.

Man kann nun - wie bei der obigen Aufgabe - für alle stabilen Kerne die Bindungsenergien ausrechnen. Will man wissen, wie stark ein Nukleon an einen Kern gebunden ist, so bietet sich als ungefähres Maß die mittlere Bindungsenergie pro Nukleon \(\frac{B}{A}\) bei dem jeweiligen Kern an. In der folgenden Abbildung ist \(\frac{B}{A}\) über der Nukleonenzahl \(A\) aufgetragen.

Die Bindungsenergie pro Nukleon schwankt bei kleinen Massenzahlen stark. Sie weist bei He-4 ein ausgeprägtes relatives Maximum (höchster Punkt im Vergleich zur unmittelbaren Umgebung) auf. Ähnliches gilt z.B. auch für O-16. Bei etwa \(A = 56\) (Eisen) erreicht die Bindungsenergie pro Nukleon ihren größten Wert, um dann zu schwereren Kernen hin wieder abzufallen. Dieser Rückgang der mittleren Bindungsenergie ist auf die langreichweitigen, abstoßenden elektrischen Kräfte zwischen den Protonen zurückzuführen.

Merke: Liegen die Endprodukte einer Reaktion im \(A\)-\(\frac{B}{A}\)-Diagramm höher als die Ausgangsprodukte, so ist die Reaktion exotherm.

Es wird eine Reaktion betrachtet, bei der ein Geschoßteilchen x auf ein Targetteilchen X im Grundzustand trifft. Das Bezugssystem wird so gewählt, dass das Teilchen X vor der Reaktion ruht, d.h. \(E_{\rm{kin,X}} = 0\). Nach der Reaktion fliegen die Teilchen y und Y* auseinander. Dabei soll der Stern (*) bei Y andeuten, dass der Kern Y angeregt sein kann, das Teilchen y sei im Grundzustand. Die Anregungsenergie von Y betrage \(E_{\rm{Y*}}\).

1 Prinzipieller Ablauf einer Kernreaktion: ein Kern x trifft mit kinetischer Energie auf einen ruhenden Kern X, die Reaktionsprodukte y und Y* (angeregt) bewegen sich mit kinetischer Energie fort

Der Energieerhaltungssatz besagt nun (m: geschwindigkeitsabhängige Atom- oder Kernmasse):

m(x)·c² + m(X)·c² = m(Y)·c² + m(y)·c²

Drückt man die Gesamtenergie der Reaktionspartner durch ihre Ruheenergien und kinetischen Energien sowie die Anregungsenergie des Partners Y aus, so gilt (m0 sind die Ruhemassen der Reaktionspartner):

m0(x)·c² + Ekin,x + m0(X)·c² = m0(Y)·c² + Ekin,Y + E*(Y) + m0(y)·c² + Ekin,y (1)

Unter der Reaktionsenergie Q (kurz: Q-Wert) versteht man nun die Summe der nach der Reaktion vorliegenden kinetischen Energien und der Anregungsenergie von Y vermindert um die Summe der vor der Wechselwirkung bestehenden kinetischen Energien:

Q = Σ (Ekin + Eanreg)nachher  -  Σ Ekin,vorher (2)

Durch geschicktes Umsortieren der Gleichung (1) kann man erreichen, dass der durch Gleichung (2) definierte Q-Wert leicht zu erkennen ist:

Ekin,Y + E*(Y) + Ekin,y - Ekin,x = (m0(x)·c² + m0(X)·c²) - (m0(Y)·c² + m0(y)·c²) (3)

Die linke Seite der Gleichung (3) entspricht der Definition des Q-Wertes für die oben vorgestellte Reaktion. Natürlich muss damit auch die rechte Seite von (3) gleich dem Q-Wert sein:

Q = (m0(x)·c² + m0(X)·c²) - (m0(Y)·c² + m0(y)·c²)

Q ist die Sume der Ruheenergien vorher minus die Summe der Ruheenergien nachher(4)

Kennt man also die Ruhemassen der beteiligten Produkte, so kann man mit Gleichung (4) die Reaktionsenergie Q berechnen.

Hinweis:

  • Ist die Summe der kinetischen Energien der Produkte nach der Reaktion höher als die Summe der kinetischen Energien vor der Reaktion, so spricht man von einem exothermen Vorgang.
  • Ist die Summe der kinetischen Energien der Produkte nach der Reaktion kleiner als die Summe der kinetischen Energien vor der Reaktion, so spricht man von einem endothermen Vorgang.

Für die Berechnung des Q-Wertes sind zwei Betrachtungsweisen möglich:

  • Man geht von den Kernmassen aus;
  • Man geht von den Atommassen aus.

Die Massenbestimmung schwerer Elemente gelingt sehr genau mit Hilfe von Massenspektrometern, bei denen man durch die Ablenkung von z.B. einfach ionisierten Atomen in elektrischen und magnetischen Feldern deren spezifische Ladung bestimmt. Bei hohen Ordnungszahlen treten "nackte" Kerne (also Kerne ohne jegliche Hüllenelektronen) so gut wie nicht auf. Deshalb wird der Q-Bestimmung über die Atommassen größere Bedeutung zukommen, da man über die Atommassen eine sehr genaue Kenntnis besitzt.

Q-Wert
Überlegung mit Kernen Q = (mk,0(x)·c² + mk,0(X)·c²) - (mk,0(Y)·c² + mk,0(y)·c²) *
Überlegung mit Atomen Q = (ma,0(x)·c² + ma,0(X)·c²) - (ma,0(Y)·c² + ma,0(y)·c²)
* Wegen der Ladungserhaltung ist die Summe der Kernladungszahlen vor und nach der Reaktion gleich. Fügt man in dieser Gleichung zu den jeweiligen Kernen die entsprechende Ruheenergie der Hüllenelektronen hinzu, so gelangt man (nahezu) zum Q-Wert mit Atommassen. Es besteht nur ein geringfügiger Unterschied in den beiden Q-Werten, der auf die unterschiedlichen Elektronenbindungsenergien Be der Hüllenelektronen in den Atomen zurückzuführen ist. Für gröbere Berechnungen ist es also unerheblich, ob man mit den Ruhemassen von Kernen oder Atomen rechnet.

Untersucht man durch geeignete Apparate (Massenspektrometer) die Massen der Reaktionsteilnehmer bei Kernspaltungen und Kernfusionen, so stellt man fest, dass die Summe der Massen der Endprodukte \(m_{\rm{nach}}\) kleiner ist als die der Anfangsprodukte \(m_{\rm{vor}}\). Die folgenden Animationen versuchen dies zu verdeutlichen.

Hinweise

  • Das Zeichen * bedeutet, dass dieser Kern angeregt ist und unter Emission weiterer Strahlung noch zerfällt.

  • Der in der Animation dargestellte Spaltprozess ist nur eine von vielen Möglichkeiten.

  • Die Massenunterschiede bei einer Spaltreaktion sind natürlich nicht so hoch, dass man sie mit einer auch noch so empfindlichen Balkenwaage feststellen könnte.

  • Wenn hier von Massen die Rede ist, so ist stets die sogenannte Ruhemasse eines Teilchens gemeint (Masse des Teilchens bei der Geschwindigkeit Null). EINSTEIN stellte nämlich in seiner Relativitätstheorie fest, dass die Masse von Teilchen eine geschwindigkeitsabhängige Größe ist.

  • In der Teilchenphysik gibt man die Masse von Teilchen meist als Vielfaches der atomaren Masseneinheit u an.

  • Die Differenz zwischen der Massensumme der Teilchen vor der Reaktion \(m_{\rm{vor}}\) und der Massensumme der Teilchen nach der Reaktion \(m_{\rm{nach}}\) wird als Massendefekt \(\Delta m\) bezeichnet: \(\Delta m = {m_{{\rm{vor}}}} - {m_{{\rm{nach}}}}\).

1 Massendefekt bei der Kernspaltung am Beispiel der Ausgangs- und Reaktionsprodukte der Spaltung eines Urans-235-Kernes durch ein langsames Neutron.
2 Massendefekt bei der Kernfusion am Beispiel der Ausgangs- und Reaktionsprodukte der Fusion eines Deuterium- und eines Tritum-Kernes.

Die EINSTEIN'sche Masse-Energie-Beziehung

Was auf den ersten Blick wie eine Verletzung des Energiesatzes aussieht, wird mit der aus der EINSTEIN'schen Relativitätstheorie gewonnen Erkenntnis, dass Masse und Energie gleichwertig (äquivalent) sind, verständlich:

Aus der Relativitätstheorie von EINSTEIN ergibt sich die Beziehung zwischen der Änderung der Gesamtenergie bei einer Reaktion \(\Delta E\) und dem Massendefekt \(\Delta m\):\[\Delta E = \Delta m \cdot {c^2} = \left( {{m_{{\rm{vor}}}} - {m_{{\rm{nach}}}}} \right) \cdot {c^2}\]Man sagt auch, dass die Beziehung \(\Delta E = \Delta m \cdot {c^2}\) die Äquivalenz von Masse und Energie beschreibt. Energie und Masse sind nur zwei verschiedene "Währungen" des Gleichen. Der Umrechnungsfaktor zwischen diesen "Währungen" ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit \(c\) mit \(c = 2,998 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\).

Hinweis

Mit dem Symbol \(\Delta \) symbolisiert man häufig die Differenz einer Größe. Es ist dabei üblich, von der Größe im Endzustand die Größe im Anfangszustand zu subtrahieren. Bei der obigen (ausführlichen) Gleichung weichen wir bei \(\Delta m\) von dieser Vereinbarung ab, da bei der Kernspaltung \(m_{\rm{nach}} < m_{\rm{vor}}\) gilt und \(\Delta m\) somit negativ wäre. Bei der ausführlichen Gleichung würde dann links ein positiver Term und rechts ein negativer Term stehen, dies wäre nicht sinnvoll.

Die atomare Masseneinheit \(1\rm{u} = 1,6605 \cdot 10^(-27)\rm{kg}\) wird oft in Form einer Energie angegeben. Es gilt\[E = 1{\rm{u}} \cdot {c^2} \Rightarrow E = 1,6605 \cdot {10^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot {\left( {2,9979 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 1,4924 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{J}} = 931,49{\rm{MeV}} \Rightarrow 1{\rm{u}} = 931,49\frac{{{\rm{MeV}}}}{{{c^2}}}\]

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