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Aufgabe

Kraft zwischen zwei geraden Leitern

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein sehr langer gerader Leiter und ein dazu paralleles kurzes Leiterstück der Länge \(25\,\rm{cm}\) werden vom Strom der gleichen Stärke durchflossen. Der Abstand der beiden Leiter voneinander beträgt \(4{,}5\,\rm{cm}\). Der kurze Leiter wird vom langen Leiter mit einer Kraft vom Betrag \(1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\rm{N}\) angezogen.

Berechne die Stärke des Stroms, der in den beiden Leitern fließt.

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Im ersten Schritt ermitteln wir den Term für die magnetische Feldstärke, die aufgrund des Stroms in dem langen Leiter am Ort des kurzen Leiterstücks herrscht, an. Die Formel für die magnetische Feldstärke eines geraden und sehr langen Leiters liefert uns\[B = {\mu _0} \cdot \frac{I}{{2 \cdot \pi \cdot r}} \quad(1)\]Im zweiten Schritt ermitteln wir den Term für den Betrag der magnetischen Kraft, die auf den Strom in der zweiten Leitung aufgrund dieser magnetischen Feldstärke wirkt. Mit \(\varphi = 90^\circ\) ergibt die Formel für die magnetische Kraft auf ein Leiterstück\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( 90^\circ \right)=I \cdot l \cdot B \quad(2)\]Setzen wir nun \((1)\) in \((2)\) ein, so erhalten wir\[F_{\rm{mag}} = I \cdot l \cdot {\mu _0} \cdot \frac{I}{{2 \cdot \pi  \cdot r}} = {\mu _0} \cdot \frac{{l \cdot {I^2}}}{{2 \cdot \pi  \cdot r}}\]Lösen wir nun diese Gleichung nach \(I\) auf, so erhalten wir\[I = \sqrt {\frac{{{F_{{\rm{mag}}}} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot r}}{{{\mu _0} \cdot l}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte \(F_{\rm{mag}} =1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\rm{N}\), \(r=4{,}5\,\rm{cm}=4{,}5 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und \(l=25\,\rm{cm}=25\cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) ergibt\[I = \sqrt {\frac{1{,}0 \cdot 10^{-5}\,\rm{N} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 4{,}5 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}}{{1{,}26 \cdot 10^{-6}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{A}}^2}}} \cdot 25\cdot 10^{-2}\,\rm{m}}}} =3{,}0\,\rm{A}\]