Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ein- und Ausschalten von RC-Kreisen

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Ein- und Ausschalten von RC-Kreisen

Im linken Stromkreis befindet sich eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\), ein Umschalter \(S\), ein Widerstand der Größe \(R\) und ein Kondensator mit der Kapazität \(C\). Die technische Stromrichtung wird durch den Pfeil verdeutlicht. Der gestrichelte Teil des Stromkreises wird beim Einschalten des Kondensators noch nicht benötigt.

Durch Umlegen des Umschalters ("Einschalten") wird der Stromkreis geschlossen und damit der Kondensator aufgeladen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird.

Nach genügend langer Zeit ist der Kondensator aufgeladen und trägt die maximale Ladung \({Q_{\max }} = C \cdot \left|{U_0}\right|\). Die Stromrichtung, auf die sich im Folgenden die Darstellung von Stromstärke und Spannungen bezieht, soll nun die gleiche wie beim Einschalten sein, sie wird wieder durch den Pfeil verdeutlicht.

Der rechte Stromkreis unterscheidet sich von dem obigen dadurch, dass der Umschalter \(S\) nun umgelegt ist. Dadurch wird die zum Einschalten angeschlossene Elektrische Quelle im gestrichelten Teil des Stromkreises abgetrennt und dafür ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt ("Ausschalten"), so dass der Strom "zusammenbrechen" kann, wobei der Stromfluss wieder durch den Widerstand begrenzt wird.

Die folgende Animation zeigt den zeitlichen Verlauf von Ladung \({Q_C}(t)\) auf dem Kondensator, Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_C}(t)\) über dem Kondensator, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_C}(t)\) am Kondensator sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Kapazität \(C\) des Kondensators in gewissen Grenzen verändert werden.

R
L
|U0|
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2 Zeitliches Verhalten von Ladung auf dem Kondensator, Stromstärke, Spannungen über Kondensator und Widerstand sowie elektrischer Leistung von Kondensator und Widerstand beim Ein- und beim Ausschalten eines RC-Kreises

Einschalten von RC-Kreisen

Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}} \cdot t}}} \right)\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 63% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.

 

 

Die Stromstärke \(I\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(I\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator steigt exponentiell an, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.

Ausschalten von RC-Kreisen

Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 37% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.

 

 

Hinweis: Da der Strom im Stromkreis beim Entladen des Kondensators entgegen der beim Aufladen festgelegten Stromrichtung fließt, ist die Stromstärke theoretisch negativ; dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.

Der Betrag \(\left| I \right|\) der Stromstärke im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) =  - {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.

 

Hinweis: Auch die Spannung, die über dem Widerstand abfällt, ist wegen der negativen Stromstärke theoretisch negativ; auch dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.

Der Betrag \(\left| U_R \right|\) der Spannung über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = - {\left| {{U_0}} \right|} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_R \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(\left| U_R \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

 

Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit  \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

Nach der Zeitkonstante \(\tau  = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.

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