Abb. 1 zeigt dir die Skizze der Schaltung, mit der das Auf- und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand untersucht werden kann. Die Schaltskizze zeigt folgende Bauteile:
- Eine elektrische Quelle mit der Nennspannung \(U_0\) zum Aufladen des Kondensators.
- Einen Umschalter \(\rm{S}\), mit dem zwischen den zwei Stromkreisen gewechselt werden kann.
- Einen Widerstand der Größe \(R\).
- Einen Kondensator der Kapazität \(C\).
- Einen Strommesser für die Stromstärke \(I\).
- Drei Spannungsmesser für die Spannungen \(U_0\), \(U_R\) und \(U_C\).
Aufladevorgang
Beim Aufladen des Kondensators befindet sich der Schalter \(\rm{S}\) in der linken Position, so dass wir die "große" Masche der Schaltung ("Auflademasche") betrachten müssen.
Die Polung der elektrischen Quelle mit dem "+"-Pol oben und dem "-"-Pol unten legt den Zählpfeil fest, der im Uhrzeigersinn dreht. Dies ist durch den grünen Kreispfeil in der Auflademasche gekennzeichnet. Alle Messgeräte sind so geschaltet, dass der Zählpfeil von ihrem "+"-Pol zu ihrem "-"-Pol zeigt. Dies ist beim Strommesser und allen Spannungsmessern so gekennzeichnet.
- Während des Aufladevorgangs zeigt der Spannungsmesser über der elektrischen Quelle einen konstanten negativen Wert (\(U_0<0\)).
- Der Ladestrom fließt in Richtung des Zählpfeils. Der Strommesser und der Spannungsmesser über dem Widerstand zeigen jeweils positive Werte (\(I>0\) und \(U_R>0\)).
- Die "obere" Platte des Kondensators lädt sich positiv, die "untere" negativ auf. Der Spannungsmesser über dem Kondensator zeigt positive Werte (\(U_C>0\)).
Am Ende des Aufladevorgangs ergibt sich \(I=0\,\rm{A}\), \(U_R=0\,\rm{V}\) und \(U_C=\left| {{U_0}} \right|\), auf der oberen Platte des Kondensators befindet sich die Ladung \(Q_0=+C \cdot \left| {{U_0}} \right|\).
Entladevorgang
Beim Entladen des Kondensators befindet sich der Schalter \(\rm{S}\) in der rechten Position, so dass wir die "kleine" Masche der Schaltung ("Entlademasche") betrachten müssen.
Der Zählpfeil und die Polung aller Messgeräte bleiben wie beim Aufladevorgang.
- Während des Entladevorgangs entlädt sich der Kondensator. Der Spannungsmesser über dem Kondensator zeigt weiterhin positive Werte (\(U_C>0\)).
- Der Entladestrom fließt dagegen gegen die Richtung des Zählpfeils. Der Strommesser und der Spannungsmesser über dem Widerstand zeigen jeweils negative Werte (\(I<0\) und \(U_R<0\)).
Am Ende des Entladevorgangs ist der Kondensator vollständig entladen, die Messgeräte zeigen \(I=0\,\rm{A}\), \(U_R=0\,\rm{V}\) und \(U_C=0\).
Die folgende Animation zeigt den zeitlichen Verlauf von Ladung \({Q_C}(t)\) auf dem Kondensator, Stromstärke \(I(t)\), Spannung \({U_R}(t)\) über dem Widerstand, Spannung \({U_C}(t)\) über dem Kondensator, Leistung \({P_R}(t)\) am Widerstand und Leistung \({P_C}(t)\) am Kondensator sowohl beim Ein- als auch beim Ausschalten. Dabei können der Betrag \({\left| {{U_0}} \right|}\) der Nennspannung der Quelle, die Größe \(R\) des Widerstands sowie die Kapazität \(C\) des Kondensators in gewissen Grenzen verändert werden.
Einschalten von RC-Kreisen
Der Anstieg der Ladung \(Q\) auf dem Kondensator stellt ein beschränktes Wachstum dar. Der zeitliche Verlauf des Anstiegs wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}} \cdot t}}} \right)\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 63% von \({Q_{\max }}\) angestiegen.
Die Stromstärke \(I\) im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(I\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(I\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.
Die Spannung \(U_R\) über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_R\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(U_R\) auf ca. 37% von \(\left|{U_0}\right|\) abgefallen.
Der Anstieg der Spannung \(U_C\) über dem Kondensator stellt ein beschränktes Wachstum dar. Der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}} \right)\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 63% von \(\left|{U_0}\right|\) angestiegen.
Ausschalten von RC-Kreisen
Die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[Q(t) = {Q_{\max }} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{Q_{\max }} = C \cdot {\left| {{U_0}} \right|}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(Q\) auf 50% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(Q\) auf ca. 37% von \({Q_{\max }}\) abgefallen.
Hinweis: Da der Strom im Stromkreis beim Entladen des Kondensators entgegen der beim Aufladen festgelegten Stromrichtung fließt, ist die Stromstärke theoretisch negativ; dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.
Der Betrag \(\left| I \right|\) der Stromstärke im Stromkreis fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[I(t) = - {I_0} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\;;\;{I_0} = \frac{\left| {{U_0}} \right|}{R}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| I \right|\) auf 50% von \({I_0}\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(\left| I \right|\) auf ca. 37% von \({I_0}\) abgefallen.
Hinweis: Auch die Spannung, die über dem Widerstand abfällt, ist wegen der negativen Stromstärke theoretisch negativ; auch dies wird im Experiment oder bei Rechnungen meist stillschweigend vorausgesetzt, und es wird mit positiven Werten gerechnet.
Der Betrag \(\left| U_R \right|\) der Spannung über dem Widerstand fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_R}(t) = - {\left| {{U_0}} \right|} \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(\left| U_R \right|\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(\left| U_R \right|\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Die Spannung \(U_C\) über dem Kondensator fällt exponentiell ab, der zeitliche Verlauf wird beschrieben durch den Term
\[{U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{RC}}\cdot t}}\]
Nach der Halbwertszeit \({t_H} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right)\) ist \(U_C\) auf 50% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.
Nach der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) ist \(U_C\) auf ca. 37% von \(\left| {{U_0}} \right|\) abgefallen.