Bei vielen Aufgaben zur Entladung von Kondensatoren sollst du aus vorgegebenen Messwerten von der Entladung eines Kondensators bestimmte Größen wie z.B. die Kapazität \(C\) des Kondensators oder dessen Anfangsladung \(Q_0\) bestimmen. Hierzu musst du zuerst aus den Messwerten die konkreten Werte für z.B. \(Q_0\) und \(-\,\frac{1}{R \cdot C}\) der Exponentialfunktion, hier z.B. \(Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\,\frac{1}{R \cdot C} \cdot \, t}\) bestimmen, um dann später weiterrechnen zu können.
Wir stellen dir im folgenden drei verschiedene Methoden zur Bestimmung von \(Q_0\) und \(-\,\frac{1}{R \cdot C}\) vor. Welche du in einer Aufgabe anwendest hängt davon ab,
- wie die Aufgabenstellung konkret formuliert ist und
- welche technischen Hilfsmittel wie GTR oder Tabellenkalkulation dir zur Verfügung stehen.
Wie bereits angedeutet gehen in unserem Beispiel von der Messung der Ladung \(Q\) auf dem Kondensator in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) seit dem Start des Entladevorgangs aus. Die gleichen Methoden könntest du aber anwenden, wenn du die Stromstärke \(I\) oder die Spannung \(U_C\) im Lauf der Zeit gemessen oder gegeben hättest. Die folgenden Messwerten sollen gegeben sein:
| \(t\;\rm{in}\;\rm{s}\) | \(1{,}0\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) | \(7{,}0\) | \(8{,}0\) | \(9{,}0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(Q\;\rm{in}\;10^{-6}\,\rm{C}\) | \(4{,}0\) | \(3{,}3\) | \(2{,}6\) | \(2{,}1\) | \(1{,}7\) | \(1{,}4\) | \(1{,}1\) | \(0{,}9\) | \(0{,}7\) |
Egal welche Methode du später anwendest, die Darstellung der Messwerte in einem \(t\)-\(Q\)-Diagramm sollte immer der erste Schritt der Auswertung sein.
Das Diagramm in Abb. 1 zeigt, dass die Wertepaare (ungefähr) auf dem Graphen einer Exponentialfunktion liegen. Dies ist für uns nicht unerwartet, da wir aus der Theorie wissen, dass bei der Entladung eines Kondensators der zeitliche Verlauf der Ladung \(Q\) durch eine Exponentialfunktion mit dem Term\[Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\,\frac{1}{R \cdot C} \cdot \, t}\]beschrieben wird.
Ablesen von Halbwertzeit und Startwert im Graphen
Wenn du die gesuchten Größen \(Q_0\) und \( - \frac{1}{{R \cdot C}}\) durch Ablesen von Halbwertzeit und Startwert im Graphen bestimmen sollst, dann sind die folgenden Schritte notwendig:
Joachim Herz Stiftung
1. Zeichne mit der Hand eine Ausgleichskurve durch die Messwerte
2. Lies auf der Rechtsachse die Halbwertzeit ab und berechne daraus den Wert für \(-\frac{1}{{R \cdot C}}\)
In unserem Beispiel bestimmen wir als Halbwertszeit die Zeit, die für das Absinken der Ladung von \(4{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C}\) auf die Hälfte, also \(2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C}\) benötigt wird. Du erhältst für die Halbwertzeit den Wert \(T_{1/2}=3{,}3\,\rm{s}\). Damit ergibt sich wegen\[T_{1/2} = R \cdot C \cdot \ln \left( 2 \right) \Leftrightarrow -\frac{1}{{R \cdot C}} = -\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{T_{1/2}}\]in unserem Beispiel\[-\frac{1}{{R \cdot C}} = -\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{3{,}3\,{\rm{s}}}} = -0{,}21\,\frac{1}{\rm{s}}\]
3. Lies den Ordinatenabschnitt der Ausgleichskurve ab; dieser Wert ist die Anfangsladung \(Q_0\)
In unserem Beispiel erhältst du \(Q_0 = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C}\).
Insgesamt erhältst du als gesuchten Term\[Q\left( t \right) = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C} \cdot e^{-\,0{,}21\frac{1}{\rm{s}} \cdot \,t}\]
Exponential-Regression mit dem GTR oder einer Tabellenkalkulation
Wenn du die gesuchten Größen \(Q_0\) und \(-\frac{1}{{R \cdot C}}\) mit Hilfe eines GTR oder einer Tabellenkalkulation mit Exponential-Regression bestimmen kannst, dann übernimmt die Software einen großen Teil der Auswertung für dich. Dazu sind die folgenden Schritte notwendig.
Joachim Herz Stiftung
1. Gib die Messwerte aus Tab. 1 in die Software ein.
2. Lasse dir die Messwerte in einem Diagramm darstellen.
3. Lasse dir das Ergebnis der Exponential-Regression anzeigen; aus dem Funktionsterm kannst du die Maßzahl von \(Q_0\) ablesen und die Maßzahl von \(-\frac{1}{R \cdot C}\) ablesen oder schnell berechnen.
Manche Software gibt den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form \(y = 5{,}0 \cdot 10^{-6} \cdot e^{-0{,}21\, \cdot \,x}\) aus. Dann ist \(Q_0=5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C}\) und \(-\frac{1}{R \cdot C}=-0{,}21\,\frac{1}{\rm{s}}\).
Andere Software gibt den gesuchten Term für unser Beispiel in der Form \(y = 5{,}0 \cdot 10^{-6} \cdot {0{,}81}^x\) aus. Dann ist wieder \(Q_0=5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C}\). Zur Bestimmung von \(-\frac{1}{R \cdot C}\) musst du noch etwas rechnen. Wegen\[{e^{k \cdot x}} = {a^x} \Leftrightarrow k \cdot x = x \cdot \ln \left( a \right) \Leftrightarrow k = \ln \left( a \right)\]erhältst du in unserem Beispiel\[k = \ln \left( 0{,}81 \right) =- 0{,}21\]und damit \(-\frac{1}{R \cdot C}=-0{,}21\,\frac{1}{\rm{s}}\).
Egal in welcher Form dir die Software ihr Ergebnis ausgegeben hat: Insgesamt erhältst du als gesuchten Term\[Q\left( t \right) = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C} \cdot e^{-\,0{,}21\frac{1}{\rm{s}} \cdot t}\]
Linearisieren und lineare Regression (evtl. mit GTR oder Tabellenkalkulation)
Wenn du die gesuchten Größen \(Q_0\) und \(-\frac{1}{{R \cdot C}}\) durch Linearisieren des Graphen (man sagt auch einfach logarithmische Auftragung) und anschließende lineare Regression bestimmen sollst, dann sind die folgenden Schritte notwendig:
1. Erstelle eine \(t\)-\(\ln \left( \frac{Q}{10^{-6}\,\rm{C}} \right)\)-Tabelle
Das Grundprinzip der Linearisierung von Exponentialfunktionen durch einfach logarithmische Auftragung solltest du natürlich kennen. Du wirst dich möglicherweise wundern, warum wir nicht einfach den \(\ln \left( Q \right)\), sondern den \(\ln \left( {\frac{Q}{{{{10}^{-6}}{\rm{C}}}}} \right)\) berechnen. Dies hat zwei Gründe:
- Um Schwierigkeiten mit den Einheiten zu vermeiden nimmt man am liebsten immer den Logarithmus von einheitenlosen Werten, darum also das Teilen durch die Maßeinheit \(\rm{C}\).
- Um Logarithmen im kleinen einstelligen Bereich zu erhalten teilen wir zusätzlich durch die Zehnerpotenz \({10}^{-6}\).
In unserem Beispiel erhältst du folgende Tabelle:
| \(t\;\rm{in}\;\rm{s}\) | \(1{,}0\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) | \(7{,}0\) | \(8{,}0\) | \(9{,}0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln \left( \frac{Q}{10^{-6}\,\rm{C}} \right)\) | \(1{,}39\) | \(1{,}19\) | \(0{,}96\) | \(0{,}74\) | \(0{,}53\) | \(0{,}34\) | \(0{,}10\) | \(-0{,}11\) | \(-0{,}36\) |
2. Trage die Werte aus Tab. 2 in ein \(t\)-\(\ln \left( \frac{Q}{10^{-6}\,\rm{C}} \right)\)-Diagramm ein
In unserem Beispiel erhältst du das Diagramm in Abb. 3. Da kannst erkennen, dass die Wertepaare ungefähr auf einer Geraden liegen.
3. Zeichne mit dem Lineal eine Ausgleichskurve durch die Messwerte.
4. Bestimme den Steigungsfaktor der Ausgleichsgerade; dieser ist der Wert für \(-\frac{1}{{R \cdot C}}\)
In unserem Beispiel erhältst du für den Steigungsfaktor der Ausgleichsgerade\[m = \frac{{ - 1{,}6}}{{7{,}5\,{\rm{s}}}} = - 0{,}21\,\frac{1}{{\rm{s}}}\]Dies ist der Wert für \(-\frac{1}{{R \cdot C}}\).
5. Lies den Ordinatenabschnitt der Ausgleichsgerade ab und berechne daraus den Wert für \(Q_0\).
In unserem Beispiel erhältst du für den Ordinatenabschnitt den Wert \(1{,}6\). Damit ergibt sich\[\ln \left( {\frac{{{Q_0}}}{{{{10}^{-6}}{\rm{C}}}}} \right) = 1{,}6 \Leftrightarrow \frac{{{Q_0}}}{{{{10}^{-6}}{\rm{C}}}} = {e^{1{,}6}} = 5{,}0 \Leftrightarrow {Q_0} = 5{,}0 \cdot {10^{-6}}{\rm{C}}\]Insgesamt erhältst du als gesuchten Term\[Q\left( t \right) = 5{,}0 \cdot 10^{-6}\,\rm{C} \cdot e^{-\,0{,}21\frac{1}{\rm{s}}\cdot \,t}\]
Hinweis: Wenn du einen GTR oder eine Tabellenkalkulation zur Verfügung hast, lassen sich in Schritt 1 die Werte in der zweiten Zeile von Tab. 2 automatisiert aus den Werten der zweiten Zeile von Tab. 1 berechnen. Das Diagramm in Schritt 2 lässt sich mit der Software ebenfalls sehr einfach erstellen. Auch die Ausgleichsgerade sowie deren Steigung und Ordinatenabschnitt kann die Software mit den eingebauten Funktionen bestimmen.