Abb. 1 Schaltplan eines (unbelasteten) Spannungsteilers
In Abb. 1 siehst du den Schaltplan eines (unbelasteten) Spannungsteilers.
Ein Spannungsteiler wird immer dann genutzt, wenn zwar eine Quellspannung \(U_0\)1 vorhanden ist, zum Betrieb eines bestimmten Bauteils aber eine kleinere Spannung \(U_1\) benötigt wird.
Diese kleinere Spannung \(U_1\) soll in Abb. 1 über dem Widerstand \(R_1\) abgegriffen werden können.
Mit Hilfe der folgenden Teilaufgaben lernst du, wie die Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) gewählt werden müssen, damit über dem Widerstand \(R_1\) die benötigte Spannung \(U_1\) abgegriffen werden kann.
1Der Einfachheit halber zählen wir hier alle Spannungen positiv.
Mit der Simulation in Abb. 2 kannst du deine Lösungen und vor allem deine Vermutungen überprüfen. Bitte drücke nach jeder Eingabe die "Enter"-Taste.
Abb. 2
Aufbau und Funktionsweise eines unbelasteten Spannungsteilers
a)
Es seien zuerst einmal \(U_0 = 12{,}0\,{\rm{V}}\) und \(R_1=R_2=15\,\Omega\).
Berechne die Stärke \(I_{\rm{ges}}\) des Stroms, der durch den Stromkreis fließt.
Berechne die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt.
b)
Es seien jetzt \(U_0 = 12{,}0\,{\rm{V}}\), \(R_1=15\,\Omega\) und \(R_2=45\,\Omega\).
Berechne die Stärke \(I_{\rm{ges}}\) des Stroms, der durch den Stromkreis fließt.
Berechne die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt.
c)
Stelle eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen der Quellspannung \(U_0\), den Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) und der Spannung \(U_1\) auf.
d)
Leite eine allgemeine Formel zur Berechnung der Spannung \(U_1\) durch die Quellspannung \(U_0\) und die beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) her. Orientiere dich dabei an den Lösungen der Teilaufgaben a) und b).
Überprüfe deine Formel anhand des Ergebnisses der Teilaufgabe b).
Da die beiden Widerstände in Reihe geschaltet sind, beträgt ihr Gesamtwiderstand\[R_{\rm{ges}}=R_1+R_2=15\,\Omega+15\,\Omega=30\,\Omega\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{12{,}0\,{\rm{V}}}{30\,\Omega}=0{,}40\,\rm{A}\]Durch den gesamten Stromkreis und damit durch beide Widerstände fließt ein Strom der Stärke \(0{,}40\,\rm{A}\).
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt\[U_1=R_1 \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}=0{,}40\,\rm{A}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[U_1=15\,\Omega \cdot 0{,}40\,\rm{A} = 6{,}0\,\rm{V}\]Über dem Widerstand \(R_1\) fällt die Spannung \(U_1=6{,}0\,\rm{V}\), also die Hälfte der Spannung \(U_0\), ab.
b)
Da die beiden Widerstände in Reihe geschaltet sind, beträgt ihr Gesamtwiderstand\[R_{\rm{ges}}=R_1+R_2=15\,\Omega+45\,\Omega=60\,\Omega\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{12{,}0\,{\rm{V}}}{60\,\Omega}=0{,}20\,\rm{A}\]Durch den gesamten Stromkreis und damit durch beide Widerstände fließt ein Strom der Stärke \(0{,}20\,\rm{A}\).
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt\[U_1=R_1 \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}=0{,}20\,\rm{A}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[U_1=15\,\Omega \cdot 0{,}20\,\rm{A} = 3{,}0\,\rm{V}\]Über dem Widerstand \(R_1\) fällt die Spannung \(U_1=3{,}0\,\rm{V}\), also ein Viertel der Spannung \(U_0\), ab.
c)
In Teilaufgabe a) beträgt die Spannung \(U_1=4{,}0\,\rm{V}\) die Hälfte der Spannung \(U_0=8{,}0\,\rm{V}\). Dies liegt möglicherweise daran, dass der Widerstand \(R_1=10\,\Omega\) die Hälfte des Gesamtwiderstands \(R_{\rm{ges}}=R_1+R_2=20\,\Omega\) besitzt.
In Teilaufgabe b) beträgt die Spannung \(U_1=2{,}0\,\rm{V}\) ein Viertel der Spannung \(U_0=8{,}0\,\rm{V}\). Dies liegt möglicherweise daran, dass der Widerstand \(R_1=10\,\Omega\) ein Viertel des Gesamtwiderstands \(R_{\rm{ges}}=R_1+R_2=40\,\Omega\) besitzt.
Möglicherweise gilt allgemein\[U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot U_0\]
d)
Da die beiden Widerstände in Reihe geschaltet sind, beträgt ihr Gesamtwiderstand\[R_{\rm{ges}}=R_1+R_2 \quad (1)\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der rechten Seite von Gleichung \((1)\) liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_1+R_2} \quad(2)\]
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt\[U_1=R_1 \cdot I_1 \quad(3)\]Nun gilt aber \(I_1=I_{\rm{ges}}\), so dass man die rechte Seite von Gleichung \((2)\) einsetzen kann. Dann ergibt sich\[U_1=R_1 \cdot \frac{U_0}{R_1+R_2} = \frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot U_0\]Über dem Widerstand \(R_1\) fällt die Spannung \(U_1=\frac{R_1}{R_1+R_2} \cdot U_0\) ab.
