Abb. 1 Schaltplan eines belasteten Spannungsteilers
In Abb. 1 siehst du den Schaltplan eines belasteten Spannungsteilers.
Ein Spannungsteiler wird immer dann genutzt, wenn zwar eine Quellspannung \(U_0\)1 vorhanden ist, zum Betrieb eines bestimmten Bauteils aber eine kleinere Spannung \(U_1\) benötigt wird.
Diese kleinere Spannung \(U_1\) soll in Abb. 1 über dem Widerstand \(R_1\) abgegriffen werden können. Das Bauteil wird dann parallel zum Widerstand \(R_1\) eingebaut, so dass an ihm ebenfalls die Spannung \(U_1\) anliegt.
Man spricht von einem belasteten Spannungsteiler, wenn der Widerstand \(R_{\rm{L}}\) des Bauteils ungefähr in der Größenordnung der beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) liegt. Man spricht dann von dem Bauteil als einer Last. Dann fließt nämlich durch das Bauteil ein Strom, der ähnlich groß wie der Strom durch die beiden anderen Widerstände ist. Dadurch ändern sich die Verhältnisse im Spannungsteiler erheblich.
Mit Hilfe der folgenden Teilaufgaben lernst du, welchen Einfluss die Last mit dem Widerstand \(R_{\rm{L}}\) auf einen Spannungsteiler mit den Widerständen \(R_1\) bzw. \(R_2\) und insbesondere auf die benötigte Spannung \(U_1\) hat.
1Der Einfachheit halber zählen wir hier alle Spannungen positiv.
Mit der Simulation in Abb. 2 kannst du deine Lösungen überprüfen. Bitte drücke nach jeder Eingabe die "Enter"-Taste.
Abb. 2
Aufbau und Funktionsweise eines belasteten Spannungsteilers
a)
Wir betrachten zuerst einmal einen unbelasteten Spannungsteiler ohne Last. Wir nehmen aber an, dass an dem Bauteil, das betrieben werden soll, eine Spannung von \(6{,}0\,\rm{V}\) anliegen muss, damit es ordnungsgemäß funktioniert.
Es seien zuerst einmal \(U_0 = 12{,}0\,{\rm{V}}\) und \(R_1=R_2=20\,\Omega\).
Berechne die Stärke \(I_{\rm{ges}}\) des Stroms, der durch den Stromkreis fließt.
Berechne die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt.
Nun betrachten wir den belasteten Spannungsteiler. Das Bauteil (die Last) habe also einen Widerstand \(R_{\rm{L}}\) in der Größenordnung der Widerstände \(R_1\) und \(R_2\).
b)
Erläutere begründet, welchen Einfluss die Last auf
den Widerstand des linken Zweiges der Schaltung
den Widerstand der gesamten Schaltung
die Stärke des Stroms durch die gesamte Schaltung
die Stärke des Stroms durch den linken Zweig der Schaltung
hat.
Erläutere begründet, warum ohne konkrete Rechnung keine Aussage über die Spannung, die über dem linken Zweig der Schaltung abfällt, gemacht werden kann.
c)
Es seien \(U_0 = 12{,}0\,{\rm{V}}\), \(R_1=R_2=20\,\Omega\) und \(R_{\rm{L}}=10\,\Omega\). Wir nehmen weiter an, dass an dem Bauteil eine Spannung von \(6{,}0\,\rm{V}\) anliegen muss, damit es ordnungsgemäß funktioniert.
Berechne die Stärke \(I_{\rm{ges}}\) des Stroms, der durch den Stromkreis fließt.
Berechne die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) und damit auch über dem Bauteil abfällt.
d)
Hohes mathematisches Anforderungsniveau (Algebra)
Leite eine allgemeine Formel zur Berechnung der Spannung \(U_1\) durch die Quellspannung \(U_0\), die beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) sowie den Widerstand \(R_{\rm{L}}\) her. Orientiere dich dabei an der Lösung der Teilaufgabe c).
Überprüfe deine Formel anhand des Ergebnisses der Teilaufgabe c).
Da die beiden Widerstände in Reihe geschaltet sind, beträgt ihr Gesamtwiderstand\[R_{\rm{ges}}=R_1+R_2=20\,\Omega+20\,\Omega=40\,\Omega\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{12{,}0\,{\rm{V}}}{40\,\Omega}=0{,}30\,\rm{A}\]Durch den gesamten Stromkreis und damit durch beide Widerstände fließt ein Strom der Stärke \(0{,}30\,\rm{A}\).
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) abfällt\[U_1=R_1 \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}=0{,}30\,\rm{A}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[U_1=20\,\Omega \cdot 0{,}30\,\rm{A} = 6{,}0\,\rm{V}\]Über dem Widerstand \(R_1\) fällt die Spannung \(U_1=6{,}0\,\rm{V}\), also die Hälfte der Spannung \(U_0\), ab. Das Bauteil sollte also ordnungsgemäß funktionieren.
b)
Da im linken Zweig der Schaltung die beiden Widerstände parallel geschaltet sind, wird der Widerstand des linken Zweiges kleiner.
Da der Widerstand des linken Zweiges kleiner wird und der linke Zweig und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, wird der Widerstand der gesamten Schaltung kleiner.
Da der Widerstand der gesamten Schaltung kleiner wird, wird nach dem Gesetz von OHM die Stärke des Stroms durch die gesamte Schaltung größer.
Da die Stärke des Stroms durch die gesamte Schaltung größer wird, wird auch die Stärke des Stroms durch den linken Zweig größer.
Nach dem Gesetz von OHM ist die Spannung, die über dem linken Zweig der Schaltung abfällt, gleich dem Produkt aus deren Widerstand und der Stärke des hindurchfließenden Stroms. Da der Widerstand zwar kleiner, die Stärke des Stroms aber größer wird, könnte sich dies zwar ausgleichen, muss es aber nicht.
c)
Da im linken Kreis die beiden Widerstände parallel geschaltet sind, beträgt der Widerstand des linken Kreises\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1+R_{\rm{L}}} = \frac{20\,\Omega \cdot 10 \,\Omega}{20\,\Omega + 10 \,\Omega} = 6\frac{2}{3}\,\Omega\]Da der linke Kreis und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, beträgt der Gesamtwiderstand der Schaltung\[R_{\rm{ges}}=R_{\rm{1,L}}+R_2=6\frac{2}{3}\,\Omega+20\,\Omega=26\frac{2}{3}\,\Omega\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{12{,}0\,{\rm{V}}}{26\frac{2}{3}\,\Omega}=0{,}45\,\rm{A}\]Durch den gesamten Stromkreis fließt ein Strom der Stärke \(0{,}45\,\rm{A}\).
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem linken Zweig mit dem Widerstand \(R_{\rm{1,L}}\) abfällt\[U_1=R_{\rm{1,L}} \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}=0{,}45\,\rm{A}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[U_1=6\frac{2}{3}\,\Omega \cdot 0{,}45\,\rm{A} = 3{,}0\,\rm{V}\]Über dem linken Zweig fällt die Spannung \(U_1=3{,}0\,\rm{V}\), also ein Viertel der Spannung \(U_0\), ab. Das Bauteil funktioniert also nicht ordnungsgemäß.
d)
Da im linken Kreis die beiden Widerstände parallel geschaltet sind, beträgt der Widerstand des linken Kreises\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1+R_{\rm{L}}} \quad(1)\]Da der linke Kreis und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, beträgt der Gesamtwiderstand der Schaltung\[R_{\rm{ges}}=R_{\rm{1,L}}+R_2\]Einsetzen der rechten Seite von Gleichung \((1)\) liefert\[R_{\rm{ges}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1+R_{\rm{L}}}+R_2 \quad(2')\]Zusammenfassen des Terms auf der rechten Seite ergibt\[R_{\rm{ges}}=\frac{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_{\rm{L}} + R_2 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}} \quad(2)\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der rechten Seite von Gleichung \((2)\) liefert\[I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{\frac{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_{\rm{L}} + R_2 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}}}\]Zusammenfassen des Terms auf der rechten Seite ergibt\[I_{\rm{ges}}= U_0 \cdot \frac{R_1 + R_{\rm{L}}}{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_{\rm{L}} + R_2 \cdot R_{\rm{L}}} \quad(3)\]Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem linken Zweig mit dem Widerstand \(R_{\rm{1,L}}\) abfällt\[U_1=R_{\rm{1,L}} \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der rechten Seiten der Gleichungen \((1)\) und \((3)\)\[U_1=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1+R_{\rm{L}}} \cdot U_0 \cdot \frac{R_1 + R_{\rm{L}}}{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_{\rm{L}} + R_2 \cdot R_{\rm{L}}}\]Zusammenfassen des Terms auf der rechten Seite liefert schließlich\[U_1=U_0 \cdot \frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 \cdot R_2 + R_1 \cdot R_{\rm{L}} + R_2 \cdot R_{\rm{L}}}\]
