Abb. 1 Wie berechnet man den Ersatzwiderstand für 3 parallel geschaltete Widerstände?
Hinweis: Die Idee zu dieser Aufgabe stammt von A. Müller, PdN 1/52
Oftmals wird aus der Formel für den Ersatzwiderstand zweier parallel geschalteter Widerstände\[{R_{1||2}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\]der Schluss gezogen, dass sich der Ersatzwiderstand für drei parallele Widerstände nach folgender Formel ergibt:\[{R_{1||2||3}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_1} + {R_2} + {R_3}}}\]
a)
Erläutere, warum die angegebene Gleichung für die drei parallel geschalteten Widerstände auf keinen Fall richtig sein kann.
Überlegung mit den Einheiten: Im Zähler der angegebenen Formel \({R_{1||2||3}} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_1} + {R_2} + {R_3}}}\) werden drei Widerstände multipliziert, als Einheit kommt also "\(\Omega^3\)" heraus. Im Nenner werden drei Widerstände addiert, sodass als Einheit einfach \(\Omega\) herauskommt. Gekürzt ergibt dies also "\(\Omega^2\)", was keine gültige Einheit für einen Widerstand ist.
In der Formel für zwei Widerstände gibt es dieses Problem nicht.
b)
In der Parallelschaltung werden die Inverse der Widerstände addiert: \[ \begin{align} \frac{1}{R_{1||2||3}} &= \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\\ &= \frac{R_2R_3}{R_1R_2R_3} + \frac{R_1R_3}{R_1R_2R_3} + \frac{R_1R_2}{R_1R_2R_3}\\ &= \frac{R_2R_3 + R_1R_3 + R_1R_2}{R_1R_2R_3}\\ \Rightarrow R_{1||2||3} &= \frac{R_1R_2R_3}{R_2R_3 + R_1R_3 + R_1R_2} \end{align} \]
