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Grundwissen

Berechnung von Schaltungen

Aufgaben Aufgaben

Wenn du den Umgang mit dem Gesetz von OHM beherrschst und den Ersatzwiderstand von Parallel- und Reihenschaltungen berechnen kannst, dann kannst du auch Spannungen, Stromstärken und Widerstände bei komplexeren d.h. komplizierteren Schaltungen berechnen. Eine solche Aufgabenstellung könnte z.B. so aussehen:

Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schaltskizze zur Aufgabenstellung

Berechne bei gegebener Spannung \(U=10\,\rm{V}\) und bekannten Werten für die drei Widerstände (\({R_1} = 100\,\Omega \), \({R_2} = 200\,\Omega \) und \({R_3} = 50\,\Omega \)) alle Stromstärken und alle Teilspannungen.

Abb. 2 Vorgehensweise bei der Berechnung einer Schaltung mit drei Widerständen

Wir zeigen dir nun, wie wie man schrittweise vorgeht, um diese Aufgabe zu lösen. Die grundlegende Strategie siehst du in der Animation in Abb. 2: Zuerst berechnet man den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung der beiden Widerstände, dann den Ersatzwiderstand der Reihenschaltung des Widerstands mit dem Ersatzwiderstand.

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Abb. 3 Reduzierter Schaltkreis

Zunächst wird der Ersatzwiderstand \({{R_{23}}}\) der Parallelschaltung der beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) bestimmt:\[{\frac{1}{{{R_{23}}}} = \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_2}}}{{{R_3} \cdot {R_2}}} = \frac{{{R_3} + {R_2}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} \Rightarrow {R_{23}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}}}\]

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Abb. 4 Reduzierter Schaltkreis 2

Danach wird der Ersatzwiderstand \({R_{123}}\) für die Serienschaltung von \({{R_1}}\) und \({{R_{23}}}\) bestimmt:\[ R_{123} = R_{1} + R_{23} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert für \({R_{123}}\)
\[{R_{123}} = {R_1} + \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} \Rightarrow {R_{123}} = 100\Omega  + \frac{{200\Omega  \cdot 50\Omega }}{{200\Omega  + 50\Omega }} = 100\Omega  + 40\Omega  = 140\Omega \]
Damit ergibt sich für \(I_1\)
\[{I_1} = \frac{U}{{{R_{123}}}} \Rightarrow {I_1} = \frac{{10{\rm{V}}}}{{140\Omega }} = 71{\rm{mA}}\]

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Abb. 5 Reduzierter Schaltkreis

Weiter ergibt sich für \(U_1\)
\[{{\rm{U}}_1} = {I_1} \cdot {R_1} \Rightarrow {{\rm{U}}_1} = 71 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} \cdot 100\Omega  = 7,1{\rm{V}}\]

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Abb. 6 Ströme im Schaltkreis

Da die beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) parallel geschaltet sind, ist die Spannung, die an ihnen anliegt gleich. Damit ergibt sich nach der Maschenregel
\[{U_2} = {U_3} = U - {U_1} \Rightarrow {U_2} = {U_3} = 10{\rm{V}} - 7,1{\rm{V}} = 2,9{\rm{V}}\]
Weiter ergibt sich für die Ströme \(I_2\) und \(I_3\)
\[{I_2} = \frac{{{U_2}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{2,9{\rm{V}}}}{{200\Omega }} = 15{\rm{mA}}\]
und schließlich aufgrund der Knotenregel
\[{I_3} = {I_1} - {I_2} \Rightarrow {I_3} = 71{\rm{mA}} - 15{\rm{mA}} = 56{\rm{mA}}\]