Beim belasteten Spannungsteiler sind der linke Widerstand und der Lastwiderstand parallel geschaltet.
Der Gesamtwiderstand dieser Parallelschaltung ist deshalb immer kleiner als der linke Widerstand.
Über der Parallelschaltung und damit dem Lastwiderstand fällt also weniger Spannung ab, als für den Betrieb der Last nötig ist.
Die dritte Möglichkeit, dieses Problem zu lösen besteht darin, den linken Widerstand zu vergrößern und den rechten Widerstand zu verkleinern und zwar so, dass der Gesamtwiderstand der geänderten Widerstände genau so groß ist wie der der ursprünglichen.
Mit Hilfe der folgenden Teilaufgaben lernst du, wie du bei gegebener Quellspannung \(U_0\)1, Lastwiderstand \(R_{\rm{L}}\) und vorgegebenem Gesamtwiderstand \(R_{\rm{ges}}\) die beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) so bestimmen kannst, dass über der Last die zum Betrieb benötigte Spannung \(U_1\) anliegt.
1Der Einfachheit halber zählen wir hier alle Spannungen positiv.
Mit der Simulation in Abb. 2 kannst du deine Lösungen überprüfen. Bitte drücke nach jeder Eingabe die "Enter"-Taste.
Abb. 2
Aufbau und Funktionsweise eines belasteten Spannungsteilers
a)
Es seien \(U_0 = 8{,}0\,{\rm{V}}\), \(R_1=13\,\Omega\), \(R_2=7\,\Omega\) und \(R_{\rm{L}}=15\,\Omega\). Wir nehmen weiter an, dass an dem Bauteil eine Spannung von \(4{,}0\,\rm{V}\) anliegen muss, damit es ordnungsgemäß funktioniert.
Berechne die Stärke \(I_{\rm{ges}}\) des Stroms, der durch den Stromkreis fließt.
Berechne die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) und damit auch über dem Bauteil abfällt.
b)
Berechne die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit).
Tab. 1a Tabelle zum Eintrag der berechneten Leistungen
linker Widerstand
rechter Widerstand
Baulteil (Last)
gesamt
\(P\) in \(\rm{W}\)
Berechne den Wirkungsgrad \(\eta\) dieser Schaltung, d.h. das Verhältnis der am Bauteil (Last) umgesetzten Leistung zur gesamten umgesetzten Leistung.
Beurteile dieses Ergebnis.
c)
Hohes mathematisches Anforderungsniveau (Algebra)
Es sei nun \(U_0 = 12{,}0\,{\rm{V}}\), \(R_1+R_2=20\,\Omega\) und \(R_{\rm{L}}=15\,\Omega\). An dem Bauteil muss wie bisher eine Spannung von \(4{,}0\,\rm{V}\) anliegen, damit es ordnungsgemäß funktioniert.
Berechne die Größen \(R_1\) und \(R_2\) der beiden Widerstände so, dass über \(R_1\) und damit der Last eine Spannung von \(4{,}0\,\rm{V}\) abfällt und die Summe der beiden Widerstände \(20\,\Omega\) beträgt.
Tipp: Für den belasteten Spannungsteiler gilt die Formel\[\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_{\rm{1,L}}}{R_2} \quad {\rm{mit}} \quad R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}}\]
Da im linken Kreis die beiden Widerstände parallel geschaltet sind, beträgt der Widerstand des linken Kreises (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1+R_{\rm{L}}} = \frac{13\,\Omega \cdot 15 \,\Omega}{13\,\Omega + 15 \,\Omega} = 7{,}0\,\Omega\]Da der linke Kreis und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, beträgt der Gesamtwiderstand der Schaltung\[R_{\rm{ges}}=R_{\rm{1,L}}+R_2=7\,\Omega+7\,\Omega=14\,\Omega\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{8{,}0\,{\rm{V}}}{14\,\Omega}=\frac{4}{7}\,\rm{A}\]Durch den gesamten Stromkreis fließt ein Strom der Stärke \(\frac{4}{7}\,\rm{A}\).
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem linken Zweig mit dem Widerstand \(R_{\rm{1,L}}\) abfällt\[U_1=R_{\rm{1,L}} \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}=\frac{4}{7}\,\rm{A}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[U_1=7\,\Omega \cdot \frac{4}{7}\,\rm{A} = 4{,}0\,\rm{V}\]Über dem linken Zweig fällt die Spannung \(U_1=4{,}0\,\rm{V}\), also die Hälfte der Spannung \(U_0\), ab. Das Bauteil funktioniert also ordnungsgemäß.
Es wird nur ca. \(\frac{1}{4}\) der gesamten umgesetzen Leistung zum Betrieb des Bauteils genutzt. Dies ist nicht sehr effizient.
c)
Da die beiden Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) zusammen den Wert \(20\,\Omega\) haben sollen, gilt zuerst einmal\[R_1+R_2=20\,\Omega \Leftrightarrow R_2=20\,\Omega-R_1 \quad(1)\]Da der linke Zweig des Stromkreises und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, gilt für die Spannungen\[U_0=U_1+U_2 \Leftrightarrow U_2=U_0-U_1\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[U_2=12{,}0\,\rm{V}-4{,}0\,\rm{V}=8{,}0\,\rm{V}\]Nutzt man den ersten Teil des Tipps, so ergibt sich\[\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_{\rm{1,L}}}{R_2} \Leftrightarrow R_2= \frac{U_2}{U_1} \cdot R_{\rm{1,L}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[R_2 = \frac{8{,}0\,\rm{V}}{4{,}0\,\rm{V}} \cdot R_{\rm{1,L}}=2 \cdot R_{\rm{1,L}} \quad(2')\]Nutzt man den zweiten Teil des Tipps, so ergibt sich\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}} \quad(3')\]Einsetzen von \( R_{\rm{L}}=15\,\Omega\) liefert\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot 15\,\Omega}{R_1 + 15\,\Omega} \quad(3)\] Setzt man die rechte Seite der Gleichung \((3)\) in Gleichung \((2')\) ein, so erhält man\[R_2 =2 \cdot \frac{R_1 \cdot 15\,\Omega}{R_1 + 15\,\Omega} \quad(2)\]Nun kann man die beiden rechten Seiten der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) gleichsetzen und erhält\[20\,\Omega-R_1 = 2 \cdot \frac{R_1 \cdot15\,\Omega}{R_1 +15\,\Omega}\]Umformen dieser Gleichung liefert (ohne Maßeinheiten)\[{R_1}^2+25 \cdot R_1 - 300=0\]Dies ist eine quadratische Gleichung für \(R_1\) und liefert als physikalisch sinnvolle Lösung (jetzt wieder mit Maßeinheiten) (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[R_1=8{,}9\,\Omega\]und mit Gleichung \((1)\) (jetzt mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[R_2=11{,}1\,\Omega\]
