Beim belasteten Spannungsteiler sind der linke Widerstand und der Lastwiderstand parallel geschaltet.
Der Gesamtwiderstand dieser Parallelschaltung ist deshalb immer kleiner als der linke Widerstand.
Über der Parallelschaltung und damit dem Lastwiderstand fällt also weniger Spannung ab, als für den Betrieb der Last nötig ist.
Die erste Möglichkeit, dieses Problem zu lösen besteht darin, den linken Widerstand so zu vergrößern, dass der Widerstand der Parallelschaltung genau so groß ist wie der rechte Widerstand.
Mit Hilfe der folgenden Teilaufgaben lernst du, wie du bei gegebener Quellspannung \(U_0\)1, Lastwiderstand \(R_{\rm{L}}\) und rechtem Widerstand \(R_2\) den Widerstand \(R_1\) so bestimmen kannst, dass über der Last die zum Betrieb benötigte Spannung \(U_1\) anliegt.
1Der Einfachheit halber zählen wir hier alle Spannungen positiv.
Mit der Simulation in Abb. 2 kannst du deine Lösungen überprüfen. Bitte drücke nach jeder Eingabe die "Enter"-Taste.
Abb. 2
Aufbau und Funktionsweise eines belasteten Spannungsteilers
a)
Es seien \(U_0 = 8{,}0\,{\rm{V}}\), \(R_1=30\,\Omega\), \(R_2=10\,\Omega\) und \(R_{\rm{L}}=15\,\Omega\). Wir nehmen weiter an, dass an dem Bauteil eine Spannung von \(4{,}0\,\rm{V}\) anliegen muss, damit es ordnungsgemäß funktioniert.
Berechne die Stärke \(I_{\rm{ges}}\) des Stroms, der durch den Stromkreis fließt.
Berechne die Spannung \(U_1\), die über dem Widerstand \(R_1\) und damit auch über dem Bauteil abfällt.
Es sei nun \(U_0 = 12{,}0\,{\rm{V}}\), \(R_2=10\,\Omega\) und \(R_{\rm{L}}=15\,\Omega\). An dem Bauteil muss wie bisher eine Spannung von \(4{,}0\,\rm{V}\) anliegen, damit es ordnungsgemäß funktioniert.
Berechne die Größe \(R_1\) des linken Widerstands so, dass über ihm und damit der Last eine Spannung von \(4{,}0\,\rm{V}\) abfällt.
Tipp: Für den belasteten Spannungsteiler gilt die Formel \[\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_{\rm{1,L}}}{R_2} \quad {\rm{mit}} \quad R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}}\]
Da im linken Kreis die beiden Widerstände parallel geschaltet sind, beträgt der Widerstand des linken Kreises\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1+R_{\rm{L}}} = \frac{30\,\Omega \cdot 15 \,\Omega}{30\,\Omega + 15 \,\Omega} = 10\,\Omega\]Da der linke Kreis und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, beträgt der Gesamtwiderstand der Schaltung\[R_{\rm{ges}}=R_{\rm{1,L}}+R_2=10\,\Omega+10\,\Omega=20\,\Omega\]Nach dem Gesetz von OHM gilt in diesem Stromkreis\[U_0=R_{\rm{ges}} \cdot I_{\rm{ges}} \Leftrightarrow I_{\rm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\rm{ges}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[ I_{\rm{ges}}=\frac{8{,}0\,{\rm{V}}}{20\,\Omega}=0{,}40\,\rm{A}\]Durch den gesamten Stromkreis fließt ein Strom der Stärke \(0{,}40\,\rm{A}\).
Nach dem Gesetz von OHM gilt für die Spannung \(U_1\), die über dem linken Zweig mit dem Widerstand \(R_{\rm{1,L}}\) abfällt\[U_1=R_{\rm{1,L}} \cdot I_1\]Wegen \(I_1=I_{\rm{ges}}=0{,}40\,\rm{A}\) ergibt sich nach dem Einsetzen der gegebenen Werte\[U_1=10\,\Omega \cdot 0{,}40\,\rm{A} = 4{,}0\,\rm{V}\]Über dem linken Zweig fällt die Spannung \(U_1=4{,}0\,\rm{V}\), also die Hälfte der Spannung \(U_0\), ab. Das Bauteil funktioniert also ordnungsgemäß.
b)
Da der linke Zweig des Stromkreises und der rechte Widerstand in Reihe geschaltet sind, gilt für die Spannungen\[U_0=U_1+U_2 \Leftrightarrow U_2=U_0-U_1\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[U_2=12{,}0\,\rm{V}-4{,}0\,\rm{V}=8{,}0\,\rm{V}\]Nutzt man den ersten Teil des Tipps, so ergibt sich\[\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_{\rm{1,L}}}{R_2} \Leftrightarrow R_{\rm{1,L}} = \frac{U_1}{U_2} \cdot R_2\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[R_{\rm{1,L}} = \frac{4{,}0\,\rm{V}}{8{,}0\,\rm{V}} \cdot 10\,\Omega=5\,\Omega\]Nutzt man den zweiten Teil des Tipps, so ergibt sich\[R_{\rm{1,L}}=\frac{R_1 \cdot R_{\rm{L}}}{R_1 + R_{\rm{L}}} \Leftrightarrow R_1=\frac{R_{\rm{L}} \cdot R_{\rm{1,L}}}{R_{\rm{L}} - R_{\rm{1,L}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[R_1=\frac{15\,\Omega \cdot 5\,\Omega}{15\,\Omega - 5\,\Omega }=7{,}5\,\Omega\]
