Beschleunigungssensoren werden z.B. in Smartphones eingesetzt. Das nebenstehende Sensormodell besitzt zwei kammförmige Elektroden mit jeweils drei Stegen, die ineinander greifen, ohne sich zu berühren. Benachbarte Stege stellen im Bereich, in dem sie sich überlappen, einen luftgefüllten Plattenkondensator der Kapazität \(C\) mit Plattenabstand \(d = 1{,}0\rm{\mu m}\) dar. Der untere Kamm ist am Gehäuse montiert, der obere an einer Platte (Isolator) der Masse \(m\). Diese ist über vier Federn mit dem Gehäuse verbunden.
a)
Schätze anhand der Abbildung die Kapazität \(C\) sowie die Gesamtkapazität \(C_{\rm{ges}}\) des Sensors als Summe aller Kapazitäten vom Wert \(C\) ab. (5 BE)
b)
Im Laborexperiment bildet ein Sensor dieser Bauart gemeinsam mit einer Spule der Induktivität \(L\) einen elektromagnetischen Schwingkreis. Nun wird das Gehäuse in positive \(z\)-Richtung beschleunigt.
Erkläre, wie sich hierdurch die Anfangsfrequenz der Schwingung verändert. (5 BE)
c)
Eine Beschleunigung kann erst ab einer Mindestauslenkung des oberen Kamms registriert werden.
Gib zwei Veränderungen im Sensoraufbau an, um kleinere Beschleunigungen als bislang messen zu können. (4 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Für die Kapazität eines luftgefüllten Plattenkondensators gilt\[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Rightarrow C = 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{10 \cdot {{10}^{ - 6}} \cdot 2{,}5 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}}}} = 2 \cdot {10^{ - 16}}\,{\rm{F}}\]Die Anordnung mit den kammförmig ineinander greifenden Elektroden besteht aus fünf Kondensatoren mit jeweils der oben berechneten Kapazität \(C\) dar. Also gilt\[{C_{{\rm{ges}}}} = 5 \cdot C \Rightarrow {C_{{\rm{ges}}}} = 1 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{F}}\]
b)
Wird das Gehäuse (unterer Teil der Anordnung) nach oben beschleunigt, so vergrößert sich - aufgrund der Trägheit der oberen Platte mit der Masse \(m\) - die Fläche \(A\), mit der sich die kammartigen Stege überlappen. Wie die Rechnung in Teilaufgabe a) zeigt, gilt\[C_{ges} \sim A\]Für die Resonanzfrequenz eines Schwingkreises gilt die sogenannte THOMSON-Formel\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }} \cdot \frac{1}{{\sqrt {L \cdot {C_{{\rm{ges}}}}} }} \Rightarrow f \sim \frac{1}{{\sqrt {{C_{{\rm{ges}}}}} }}\]Dies bedeutet, dass sich bei einer Beschleunigung nach oben die Anfangsfrequenz der Schwingung verringert.
c)
Damit die Auslenkung des oberen Kammes vergrößert wird, könnte die Masse \(m\) der schwingenden oberen Platte erhöht werden. Auch die Verwendung von Federn mit geringerer Federhärte würde zu einer größeren Mindestauslenkung führen.
In Bezug auf die elektrischen Eigenschaften des Aufbaus ist die Auslenkung vor allem für die Kapazität des Kondensators relevant. Statt die Auslenkung als solche zu erhöhen, könnte daher auch die Mindestkapazität des Kondensators vergrößert werden, indem der Plattenabstand verringert wird oder die Breite des Kamms erhöht wird.
