Ein durch eine elektrische Quelle mit \(U_0=60\,\rm{V}\) geladener Kondensator mit der Kapazität \(C=30\,\rm{\mu F}\) ist zur Zeit \(t=0\) ganz aufgeladen. Der Kondensator soll über eine ideale Spule mit der Induktivität \(L=6{,}0\,\rm{H}\) entladen werden.
a)Berechne die Gesamtenergie des Systems.
b)Skizziere den zeitlichen Verlauf der in der Spule gespeicherten Energie.
c)Berechne die Zeit, die verstreicht, bis die Energie in der Spule vom Minimum bis zum Maximum steigt.
d)Berechne den Maximalwert der Stromstärke im Schwingkreis.
a)Zum Zeitpunkt \(t = 0\) sitzt die gesamte Energie des Schwingkreises im Kondensator. Zu diesem Zeitpunkt ist die Kondensatorspannung maximal \(U_{C,{\rm{max}}}\) gleich der Spannung \(U_0\). Damit ergibt sich\[E_{\rm{ges}} = E_{C,{\rm{max}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{C,{\rm{max}}}^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_0^2\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_{{\rm{ges}}}} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot {10^{ - 6}}\,{\rm{F}} \cdot {\left( {60\,{\rm{V}}} \right)^2} = 0{,}054\,{\rm{J}}\]
b)
c)Berechnung der Schwingungsdauer mit Hilfe der Formel von THOMSON:\[{\omega = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow f = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {6{,}0\,{\rm{H}} \cdot 30 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{F}}} = 8{,}4 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{s}}}\]Zwischen der Ausbildung des Minimums und des Maximums der magnetischen Energie verstreicht die Zeit\[ \frac{T}{4} = 2{,}1 \cdot 10^{-2}\,\rm{s}\]
d)Der Maximalwert \(I_{\rm{max}}\) des Stroms kann aus dem Maximalwert der magnetischen Energie \(E_{\rm{mag,max}}\) berechnet werden. Da die maximale magnetische Energie gleich der Gesamtenergie ist, gilt\[{E_{{\rm{ges}}}} = {E_{{\rm{mag}}{\rm{,max}}}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{{\rm{max}}}^2 \Rightarrow {I_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{ges}}}}}}{L}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{I_{{\rm{max}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 0{,}054\,{\rm{J}}}}{{6{,}0\,{\rm{H}}}}} = 0{,}13\,{\rm{A}}}\]
