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Aufgabe

Energie im Schwingkreis

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein durch eine Batterie (Ubat = 60V) geladener Kondensator (C = 30μF) ist zur Zeit t = 0 ganz aufgeladen. Der Kondensator soll über eine ideale Spule (L = 6,0H) entladen werden.

a)Berechnen Sie die Gesamtenergie des Systems.

b)Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der in der Spule gespeicherten Energie.

c)Berechnen Sie die Zeit, die verstreicht, bis die Energie in der Spule vom Minimum bis zum Maximum steigt.

d)Berechnen Sie den Maximalwert des Stroms im Schwingkreis.

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a)Zum Zeitpunkt t = 0 sitzt die gesamte Energie des Schwingkreises im Kondensator. Zu diesem Zeitpunkt ist die Kondensatorspannung maximal Uc,max gleich der Batteriespannung Ubat.\[ \begin{array}{} E_{ges} = E_{c,max} \quad \Rightarrow \quad E_{ges} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{c,max}^2 \quad \Rightarrow \quad E_{ges} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_{bat}^2 \\ \\
E_{ges} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 10^{-6} \cdot 60^2 \mathrm{\frac{A \cdot s}{V} \cdot V^2} = 0,054 \mathrm{J} \end{array} \]

b) 

c)Berechnung der Schwingungsdauer mit Hilfe der Formel von Thomson:\[ \begin{array}{} \omega = \frac{1}{ \sqrt{L \cdot C}} \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot \pi \cdot f = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{T} = \frac{1}{\sqrt{L \cdot C}} \\ \\T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L \cdot C} \quad \Rightarrow \quad T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{6,0 \cdot 30 \cdot 10^{-6}} \sqrt{\mathrm{\frac{V \cdot s}{A} \cdot \frac{A \cdot s}{V}}} \approx 8,4 \cdot 10^{-2} \mathrm{s} \end{array} \]Zwischen der Ausbildung des Minimums und des Maximums der magnetischen Energie verstreicht die Zeit\[ \frac{T}{4} = 2,1 \cdot 10^{-2} \mathrm{s} \]

d)Der Maximalwert des Stroms Imax kann aus dem Maximalwert der magnetischen Energie Emag,max berechnet werden. Die maximale magnetische Energie ist gleich der Gesamtenergie.\[ \begin{array}{} E_{mag,max} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{max}^2 \quad \Rightarrow \quad E_{ges} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_{max}^2 \quad \Rightarrow \quad I_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot E_{ges}}{L}} \\ \\I_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,054}{6,0}} \sqrt{\mathrm{\frac{J}{\frac{V \cdot s}{A}}}} \approx 0,13 \sqrt{\mathrm{\frac{V \cdot A \cdot s \cdot A}{V \cdot s}}} = 0,13 \mathrm{A} \end{array} \]