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Aufgabe

Analogie (Abitur BY 2002 GK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die harmonische Schwingung eines Federpendels mit der Masse m und der Federkonstante D ist ein mechanisches Analogon zur ungedämpften Schwingung eines elektromagnetischen Schwingkreises. Dabei wird die (momentane) Auslenkung x des Federpendels als die zur (momentanen) Ladung Q des Kondensators analoge Größe betrachtet.

a)Begründen Sie, dass dann der (momentanen) Geschwindigkeit des Federpendels die (momentane) Stromstärke I im Schwingkreis entspricht. (4 BE)

b)Welche Formen elektromagnetischer Energie entsprechen im Rahmen dieser Analogiebetrachtung der kinetischen Energie bzw. der potentiellen Energie des Federpendels? Geben Sie eine kurze Begründung an. (4 BE)

c)Charakterisieren Sie die Phasen der elektromagnetischen Schwingung, die den Phasen maximaler Auslenkung bzw. maximaler Geschwindigkeit des Federpendels entsprechen. (5 BE)

Qmax sei die maximale Ladung des Kondensators, Imax sei der Scheitelwert der Stromstärke in der Spule des Schwingkreises.

d)Erläutern Sie, warum folgende Gleichung gilt (4 BE)\[\frac {1} {2} L \cdot I^2_{max} = \frac{1}{2} \frac{1}{C} \cdot Q_{max}^2 \]

Umax sei der Scheitelwert der Spannung am Kondensator des Schwingkreises.

e)Entwickeln Sie (unter Verwendung der bei Teilaufgabe d) angegebenen Gleichung) die Beziehung, \( I_{max}= 2\pi \cdot f_0 \cdot C \cdot U_{max} \), wenn fo die Eigenfrequenz des Schwingkreises bezeichnet. (5 BE)

In einem ungedämpft mit der Frequenz fo = 2,0 Hz schwingenden Schwingkreis S beobachtet man die Scheitelwerte Umax = 15V und Imax = 7,5mA

f)Berechnen Sie Kapazität C und Induktivität L des Schwingkreises. (6 BE)

Mit dem oben genannten Schwingkreis S wird ein Schwingkreis S' mit gleicher Kapazität C´ = C und einer zwischen 4·L und L veränderlichen Induktivität L´ zu erzwungenen Schwingungen angeregt.

g)Beschreiben Sie qualitativ, wie sich die Frequenz bzw. die Amplitude der erzwungenen Schwingung des Schwingkreises S´ verhält, wenn L´ allmählich von 4·L auf L verringert wird. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Wenn der Auslenkung x die Ladung Q entspricht, so ist die Ableitung der momentanen Auslenkung die analoge Größe zur Ableitung der Ladung. Da gilt\[\frac{dx}{dt} = v \hspace{0.5cm} und \hspace{0.5cm} \frac {dQ}{dt} = I \]Also sind die Geschwindigkeit und der Strom die einander entsprechenden Größen.

b)Für die potenzielle Energie der Feder gilt\[E_{spann}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot x^2 \]Die entsprechende Größe im Schwingkreis ist die elektrische Energie des Kondensators:\[E_{el} \frac {1}{2} \cdot \frac{1}{C} \cdot Q^2 \]Für die kinetische Energie des Schwingers gilt
\[E_{kin}= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]Die entsprechende Größe im Schwingkreis ist die magnetische Energie der Spule\[ E_{mag}= \frac{1}{2} \cdot L \cdot I^2\]

c) 

d)Diese Gleichung drückt aus, dass im Schwingkreis die Energie erhalten bleibt: Die maximale magnetische Energie der Spule \(\frac {1}{2}L \cdot I_{max}^2 \) (z.B. erste Spalte bei Teilaufgabe c) ist gleich der maximalen elektrischen Energie des Kondensators \( \frac{1}{2} \frac{1}{C} \cdot Q_{max}^2 \), die zu einem späteren Zeitpunkt erreicht wird (z.B. zweite Spalte bei Teilaufgabe c).

e)Mit dem Ergebnis von Teilaufgabe d) folgt\[ \frac{1}{2} L \cdot I_{max}^2 = \frac{1}{2} \frac {1}{C} \cdot Q_{max}^2 \Rightarrow I^2_{max} = \frac {1} {L \cdot C} \cdot Q^2_{max} \Rightarrow I_{max} = \sqrt{\frac{1}{L \cdot C} } \cdot Q_{max}\]\[da \hspace{0.5cm} Q_{max} = C \cdot U_{max} \hspace{0.5cm} ist, folgt: \hspace{0.5 cm} I_{max} = \sqrt{\frac {1}{L \cdot C} } \cdot C \cdot U_{max} (1)\]\[mit \hspace{0.1cm} der \hspace{0.1cm} Thomson-Formel \hspace{0.5cm} \omega_0 = \sqrt{\frac {1}{L \cdot C}} \hspace{0.5cm} bzw. \hspace{0.5cm} 2 \pi \cdot f_0 = \sqrt {\frac{1}{L \cdot C}} \] folgt aus (1)\[ I_{max} = 2 \pi \cdot f_0 \cdot C \cdot U_{max} \]

f)Mit dem Ergebnis von Teilaufgabe e) folgt\[ C = \frac {I_{max}}{2\pi \cdot f_0 \cdot U_{max}} \Rightarrow C = \frac{7,5 \cdot 10^-3} {2\pi \cdot 2,0 \cdot 15} \rm{F} = 4,0 \cdot 10^{-5} \rm{F} \]Mit der Thomson-Formel folgt\[ \omega _ 0 = \sqrt {\frac{1} { L \cdot C}} \] bzw. \[ 2\pi \cdot f_0 = \sqrt{\frac{1} {L \cdot C} } \Rightarrow 4 \cdot \pi^2 \cdot f_0^2 = \frac{1}{L \cdot C} \]\[ \Rightarrow \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot f_0^2 \cdot C } \Rightarrow L= \frac{1}{4 \cdot \pi^2 \cdot 4,0 \cdot 4,0 \cdot 10^-5} \rm{H} = 1,6 \cdot 10^2 \rm{H} \]

g)Die Frequenz des Schwingkreises S´ ist stets gleich der des Schwingkreises S (also f0), da es sich um eine erzwungene Schwingung handelt.

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung wird umso größer, je mehr sich der Wert von L´ an den Wert von L annähert.