Im Unterricht soll der zeitliche Verlauf der Spannung in einem elektromagnetischen Schwingkreis aufgezeichnet werden. Dafür stehen unter anderem ein Kondensator mit der Aufschrift \(C = 40\,\rm{\mu F}\), eine Spule der Induktivität \(L = 630\,\rm{H}\), eine Gleichspannungsquelle, ein Schalter sowie ein geeignetes Spannungsmessgerät zur Verfügung.
a)Skizziere einen geeigneten, vollständig beschrifteten Versuchsaufbau. (4 BE)
b)Zeige, dass für den Schwingkreis eine Periodendauer von \(1{,}0\,\rm{s}\) zu erwarten ist. (2 BE)
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Abb. 1
c)Aus der Messung erhält man den abgebildeten Spannungsverlauf.
Bestimme mithilfe des Diagramms einen möglichst genauen Wert für die im Versuch aufgetretene Periodendauer. [zur Kontrolle: \(T_{\rm{exp}} = 0{,}95\,\rm{s}\)] (3 BE)
d)Ein Schüler vermutet, dass der ohmsche Widerstand \(R\) der Spule für die Abweichung zwischen den beiden Werten verantwortlich ist. Er findet in einer Formelsammlung für die Frequenz \(f\) eines gedämpften elektromagnetischen Schwingkreises die Formel\[f = \frac{1}{{2 \cdot \pi }}\sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}} - {{\left( {\frac{R}{{2 \cdot L}}} \right)}^2}} \]Die im Versuch verwendete Spule hat einen Widerstand von \(R = 280\,\rm{\Omega}\).
Zeige rechnerisch, dass der Unterschied zwischen den Werten nicht auf den Spulenwiderstand zurückgeführt werden kann. (4 BE)
e)Bei nochmaliger Betrachtung des Kondensators stellt der Schüler fest, dass für die Kapazität eine Abweichung von bis zu \(10\,\%\) angegeben ist.
Überprüfe durch Rechnung, ob damit die Abweichung des experimentellen Werts von der theoretischen Schwingungsdauer erklärt werden kann. (3 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
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Abb. 2
a)
b)Ermittlung der Periodendauer mit Hilfe der THOMSON-Formel (Kreis ungedämpft):\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {630\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot 40 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}} = 1{,}0\,{\rm{s}}\]
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Abb. 3
c)Aus dem Diagramm sieht man\[5 \cdot T = 4{,}75\,{\rm{s}} \Rightarrow T = \frac{{4{,}75\,{\rm{s}}}}{5} = 0{,}95\,{\rm{s}}\]
d)Für die Resonanzfrequenz des gedämpften Schwingkreises ergibt sich\[f = \frac{1}{{2\pi }} \cdot \sqrt {\frac{1}{{L \cdot C}} - {{\left( {\frac{R}{{2 \cdot L}}} \right)}^2}} \Rightarrow f = \frac{1}{{2\pi }} \cdot \sqrt {\frac{1}{{630\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot 40 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}}} - {{\left( {\frac{{280\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}}}}{{2 \cdot 630\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}}}}} \right)}^2}} = 1,0\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}}\]\[T = \frac{1}{f} \Rightarrow T = \frac{1}{{1{,}0\,\frac{1}{{\rm{s}}}}} = 1{,}0\,\rm{s}\]Auch hier ergibt sich eine merkliche Abweichung vom experimentell festgestellten Wert von \(0{,}95\,\rm{s}\).
e)Damit sich eine größere Frequenz und damit eine kleinere Schwingungsdauer ergibt, muss man von einem möglichst kleinen Wert für die Kapazität ausgehen. Bei \(10\%\) Abweichung nach unten ergäbe sich \({C^*} = 36\,{\rm{\mu F}}\).
Eine nochmalige Rechnung mit der Formel für den ungedämpften Kreis (der Dämpfungswiderstand hatte ja keinen merklichen Einfluss) ergibt\[T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {L \cdot C} \Rightarrow T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {630\,\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}} \cdot 36 \cdot {10^{ - 6}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}}} = 0{,}95\,{\rm{s}}\]Geht man davon aus, dass der vorhandene Kondensator den niedrigsten Wert im Toleranzbereich hat, so kann man die Abweichung des experimentellen Wertes für die Schwingungsdauer erklären.
