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Aufgabe

Synchrotron (Abitur BY 2006 GK A1-2)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Synchrotron ist ein Beschleuniger, in dem geladene Teilchen eine geschlossene Bahndurchlaufen, auf die sie mit Hilfe von Ablenkmagneten gezwungen werden. Näherungsweise besteht die Bahn aus vier Viertelkreisen mit Radius r und geraden Verbindungsstücken. Auf den vier Geraden werden die Teilchen durch sogenannte Resonatoren beschleunigt. Da die Energie der Teilchen ständig zunimmt, der Kreisradius r dagegen unverändert bleibt, müssen die Magnetfelder angepasst (synchronisiert) werden.

Ein Synchrotron kann erst ab einer bestimmten Teilchenenergie arbeiten; deshalb werden die Teilchen auf die nötige Geschwindigkeit vorbeschleunigt und erst dann in das Synchrotron injiziert.

a)1992 wurde in Hamburg das Synchrotron Hera in Betrieb genommen. In das Synchrotron werden Protonen mit der Geschwindigkeit v = 0,99973·c injiziert. Berechnen Sie das Verhältnis der Masse des Protons zu seiner Ruhemasse im Moment der Injektion. (5 BE)

Das Synchrotron Hera hat einen Umfang von 6,30 km. Die Protonen werden mit einer Gesamtenergie von E1 = 40,0GeV injiziert und erreichen eine maximale Gesamtenergie von E2 = 920GeV. Pro Umlauf wird den Protonen in jedem der vier Resonatoren durchschnittlich die Energie Δ E = 7,80 keV zugeführt. (Energieverluste in Form von Synchrotronstrahlung sind hierin schon berücksichtigt.)

b)Berechnen Sie, wie viele Umläufe des Protons von der Injektion bis zum Erreichen der maximalen Gesamtenergie nötig sind. [zur Kontrolle: n = 2,82·107] (5 BE)

c)Welchem Vielfachen des Erdumfangs entspricht die dabei von den Protonen zurückgelegte Strecke? (3 BE)

d)Schätzen Sie ab, wie lange der Vorgang von Teilaufgabe 2b dauert. [zur Kontrolle: t = 593s] (5 BE)

Berücksichtigt man, dass sich die Protonen nahezu mit Lichtgeschwindigkeit bewegen (v ~ c), so erhält man folgenden Zusammenhang zwischen der Gesamtenergie E der Protonen und der Flussdichte B des Magnetfelds, das die Protonen auf eine Kreisbahn zwingt:

E = r·e·c·B

e)Leiten Sie ausgehend von einem Kraftansatz für die Kreisbewegung diese Gleichung her. (7 BE)

f)Zwischen welchen Werten muss die magnetische Flussdichte B synchronisiert werden, wenn der Radius r der Kreisbahn in den Magnetfeldern 800 m beträgt? [zur Kontrolle: B1 = 0,167T; B2 = 3,84T] (6 BE)

g)Im Synchrotron erzeugen supraleitende Spulen der Querschnittsfläche A = 1,80m2 das Magnetfeld, das die Protonen ablenkt. Der Anstieg des Magnetfelds induziert in jeder der Spulen eine Gegenspannung. Berechnen Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den mittleren Wert dieser Gegenspannung für eine Spule mit 80 Windungen. (6 BE)

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a)Relativistische Massenveränderlichkeit:\[m(v) = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{m(v)}}{{{m_0}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \frac{{m(v)}}{{{m_0}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {0,99973} \right)}^2}} }} \approx 43\]

b)Bei einem Umlauf durch die vier Resonatoren gewinnt ein Proton die Energie \(4 \cdot 7,80 \cdot {10^3}{\rm{eV}} = 3,12 \cdot {10^4}{\rm{eV}}\). Der Gesamtenergiezuwachs ist \(920{\rm{GeV}} - 40{\rm{GeV}} = 880{\rm{GeV}} = 880 \cdot {10^9}{\rm{eV}}\). Die Zahl der Umläufe ist demnach\[n = \frac{{880 \cdot {{10}^9}{\rm{eV}}}}{{3,12 \cdot {{10}^4}{\rm{eV}}}} = 2,82 \cdot {10^7}\]also ungefähr 28 Millionen Umläufe.

c)Der Erdumfang ist \({u_{\rm{E}}} = 2 \cdot \pi \cdot {r_{\rm{E}}} \Rightarrow {u_{\rm{E}}} = 2 \cdot \pi \cdot 6368{\rm{km}} = 4,001 \cdot {10^4}{\rm{km}}\). Die vom Proton zurückgelegte Strecke \(s\) ist \(s = {u_{{\rm{Syn}}}} \cdot n \Rightarrow s = 6,30{\rm{km}} \cdot 2,82 \cdot {10^7} = 1,78 \cdot {10^8}{\rm{km}}\). Für die Zahl \(n_{\rm{E}}\) der Erdumläufe ergibt sich dann\[{n_{\rm{E}}} = \frac{s}{{{u_{\rm{E}}}}} \Rightarrow {n_{\rm{E}}} = \frac{{1,78 \cdot {{10}^8}{\rm{km}}}}{{4,001 \cdot {{10}^4}{\rm{km}}}}{\mkern 1mu} = 4,44 \cdot {10^3}\]

d)Die Teilchen bewegen sich näherungsweise mit der Lichtgeschwindigkeit (der Energiezuwachs äußert sich nicht mehr in einem nennenswerten Geschwindigkeitszuwachs sondern in einer Massenzunahme):\[\Delta t = \frac{s}{c} \Rightarrow \Delta t = \frac{{1,78 \cdot {{10}^{11}}{\rm{m}}}}{{3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 593{\rm{s}}\]Die Teilchen sind also ca. \(10\rm{min}\) in der Beschleunigungsanlage.

e)Aus dem Ansatz, dass die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft wirkt, erhält man\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = q \cdot v \cdot B\]Mit \(v \approx c\) und \(q = e\) ergibt sich\[m \cdot {c^2} = r \cdot e \cdot c \cdot B \Rightarrow E = r \cdot e \cdot c \cdot B\]

f)Aus Teilaufgabe e) folgt\[ B = \frac{E}{r \cdot e \cdot c} \]Die Gesamtenergie des Protons beim Einschuss ist \({E_1} = 40,0 \cdot {10^9}{\rm{eV}} = 6,40 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{J}}\)Damit ergibt sich\[{B_1} = \frac{{6,40 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{J}}}}{{800{\rm{m}} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0,167{\rm{T}}\]Das Magnetfeld muss also von \(0,167{\rm{T}}\) bis auf \(3,83{\rm{T}}\) ansteigen.

g)Das Induktionsgesetz in differentieller Form kann für Mittelwerte in folgender Form geschrieben werden:\[\left| {\overline {{U_{{\rm{ind}}}}} } \right| = N \cdot \dot \Phi = N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}} = N \cdot \frac{{A \cdot \Delta B}}{{\Delta t}}\]Das Magnetfeld ändert sich zwischen den beiden in Teilaufgabe f) berechneten Werten. Für die Dauer der Änderung gilt der in Teilaufgabe d) berechnete Wert. Damit erhält man\[\left| {\overline {{U_{{\rm{ind}}}}} } \right| = N \cdot \frac{{A \cdot \Delta B}}{{\Delta t}} \Rightarrow \left| {\overline {{U_{{\rm{ind}}}}} } \right| = 80 \cdot \frac{{1,80{{\rm{m}}^{\rm{2}}} \cdot \left( {3,83{\rm{T}} - 0,167{\rm{T}}} \right)}}{{593{\rm{s}}}} = 0,89 {\rm{V}}\]Es entsteht also eine Gegenspannung von ca. \(0,9\rm{V}\).