Ein Protonenstrahl mit kontinuierlicher Geschwindigkeitsverteilung tritt durch die Lochblende L2 in das elektrische Feld eines Plattenkondensators ein. Der gesamte Raum rechts von der Lochblende L2 wird von einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte \(B\) durchsetzt. Am anderen Ende des Kondensators befindet sich ein Auffangschirm mit der Lochblende L3.
a)
Erläutere, warum man durch geeignete Wahl der beiden Felder erreichen kann, dass nur Protonen einer bestimmten Geschwindigkeit den Kondensator geradlinig passieren und danach nach unten abgelenkt werden.
Gib dazu die Orientierung des magnetischen Feldes und die Polung des Kondensators an. (6 BE)
b)
Die Geschwindigkeit der geradlinig durchfliegenden Protonen beträgt \(v = 5{,}15 \cdot 10^5\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), für die Flussdichte gilt \(B = 75{,}0\,\rm{mT}\).
Berechne die Feldstärke \(E\) im Kondensator.
Berechne, in welcher Entfernung vom Loch der Blende L3 die Protonen auf den Schirm auftreffen. (8 BE)
c)
Verkleinert man die Kondensatorspannung unter Beibehaltung der magnetischen Flussdichte, so ändert sich die in Teilaufgabe b) berechnete Entfernung des Auftreffpunkts.
Begründ dies.
Gib insbesondere an, wie sich die Lage des Auftreffpunkts verändert. (8 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Im Kondensator wirkt das magnetische Feld \(\vec B\) lotrecht zur Zeichenebene und das elektrische Feld \(\vec E\) parallel zur Zeichenebene. Damit die Teilchen nicht abgelenkt werden, müssen elektrische Kraft \(\vec F_{\rm{el}}\) und LORENTZ-Kraft \(\vec F_{\rm{L}}\) den gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Richtungen haben.
Aus der Ablenkung des Protonenstrahls rechts von der Blende L3 kann man mit Hilfe der Drei-Finger-Regel der rechten Hand auf die Magnetfeldrichtung schließen: Nur wenn das Magnetfeld aus der Zeichenebene herausgerichtet ist, kommt es unmittelbar nach der Blende L3 zu einer Ablenkung nach unten.
Somit muss im Kondensator durch das elektrische Feld eine Kraft nach oben bewirkt werden, d.h. die unter Platte des Kondensators muss positiv geladen sein.
Aus dem gleichen Betrag von LORENTZ-Kraft und elektrischer Kraft im Kondensator folgt\[\begin{aligned}F_{\rm{L}} &= F_{\rm{el}}\\ q \cdot v \cdot B &= q \cdot E \\ v &= \frac{E}{B}\end{aligned}\]Nur diejenigen Protonen, welche die durch die Feldgrößen eindeutig bestimmte Geschwindigkeit besitzen, verlassen den Kondensator unabgelenkt.
b)
Mit der in Teilaufgabe a) hergeleiteten Beziehung lässt sich die elektrische Feldstärke \(E\) berechnen\[\begin{aligned}v &= \frac{E}{B} \\ E &= v \cdot B \end{aligned}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E = 5{,}15 \cdot 10^5 \,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 75{,}0 \cdot 10^{-3} \, \frac{\rm{V\,s}}{\rm{m}^2} = 3{,}86 \cdot 10^4 \frac{\rm{V}}{\rm{m}} \]Nach der Blende L3 wirkt nur noch die LORENTZ-Kraft, sie stellt die für die Kreisbahn erforderliche Zentripetalkraft dar, dh. es gilt\[\begin{aligned}{F_{\rm{L}}} &= {F_{\rm{ZP}}} \\ q \cdot v \cdot B &= \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} \\ r &= \frac{{m \cdot v}}{{q \cdot B}}\end{aligned}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[r = \frac{{1{,}67 \cdot 10^{-27} \,{\rm{kg}} \cdot 5{,}15 \cdot 10^5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}60 \cdot 10^{ 19}\,{\rm{A\,s}} \cdot 75{,}0 \cdot 10^{-3}\,{\rm{T}}}} = 7{,}17 \cdot 10^{-2}\,{\rm{m}} = 7{,}17\,{\rm{cm}}\]Damit treffen die Protonen im Abstand des doppelten Radius \(14{,}34\,{\rm{cm}}\) unterhalb des Austrittslochs auf.
c)
Für die Beantwortung ist es günstig, in der Formel für den Radius die Geschwindigkeit \(v\) durch den in Teilaufgabe a) gefundenen Term zu ersetzen:\[r = \frac{m\cdot v}{q \cdot B} = \frac{m \cdot E}{q \cdot B^2}\]Ersetzen wir weiter die elektrische Feldstärke \(E = \frac{U}{d}\), so erhalten wir\[r = \frac{m \cdot U}{q \cdot B^2 \cdot d}= \frac{m}{q \cdot B^2 \cdot d} \cdot U\]Es gilt also \(r \sim U \). Verkleinern wir also die Kondensatorspannung \(U\), so verkleinert sich die elektrische Feldstärke \(E\) und somit auch der Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft . Es gelangen also nur noch Teilchen unabgelenkt durch den Kondensator, auf die eine kleinere LORENTZ-Kraft wirkt. Dies ist bei langsameren Teilchen der Fall. Diese langsameren Teilchen werden nach dem Kondensator auf einer Kreisbahn mit kleinerem Radius geführt.
