Elektromagnetische Induktion

Aufgabe

Rund um die Induktion

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Spule mit quadratischem Querschnitt

Eine quaderförmige Feldspule mit quadratischer Querschnittsfläche (Quadratseite a) hat die folgenden Daten:

\(l=1,2 \, \mathrm{m} \\
a=15 \, \mathrm{cm} \\
N=20000 \\
I_f=4,0 \, \mathrm{A}\)

Im Feld dieser Spule werden Versuche mit einem Drahträhmchen (siehe Skizze zu Teilaufgabe a)) mit der Quadratseite
\(b=10 \, \mathrm{cm} \\
N'=200\)
gemacht.

Das Rähmchen soll mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die in der Skizze angegebene Achse rotieren (Umlaufszeit \(T=0,20 \, \mathrm{s}\)).

Leiten Sie die Gleichung für die induzierte Spannung in Abhängigkeit von gegebenen Größen ab.

Wie groß ist \(U_{\mathrm{max}}\)?

Das Drahträhmchen rotiere wie bei Teilaufgabe a). Zur Zeit \(t=0\) befinde sich das Rähmchen in der skizzierten Stellung. Gleichzeitig wird der Strom in der Feldspule von Null auf den vollen Wert \(I_f=4,0 \, \mathrm{A}\) in der Zeit \(\Delta t'=8,0 \, \mathrm{s}\) proportional zur Zeit hochgefahren.

Geben Sie die Gleichung der induzierten Spannung für diesen Aufbauvorgang an.

Das Drahträhmchen befindet sich ganz in der Feldspule und rotiere nicht mehr; die Flächennormale stimmt mit der Feldrichtung überein.

Skizzieren Sie qualitativ die Induktionsspannung, wenn der Feldstrom den in der Skizze angegebenen Verlauf hat.

Berechnen Sie den Spannungsstoß beim Abschalten, wenn die Stromstärke vor dem Abschalten \(I_f=4,0 \, \mathrm{A}\).

Die Maße der Feldspule bleiben fest. Das Drahträhmchen soll jetzt jedoch die Feldspule umfassen. Wie beeinflusst jetzt eine Vergrößerung von \(b\) den Spannungsstoß beim Abschalten?

Lösung

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Berechnung der magnetischen Flussdichte in der Feldspule: \[{B_{f0}} = {\mu _0} \cdot \frac{{{I_f} \cdot N}}{l} \Rightarrow {B_{f0}} = 4 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}} \cdot \frac{{4,0 \cdot 2000}}{{1,2}}\frac{{V \cdot s}}{{{m^2}}} \approx 8,3 \cdot {10^{ - 3}}T\]Berechnung der Induktionsspannung:\[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - N' \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad {U_{ind}} = - N' \cdot {B_{f0}}\frac{{dA(t)}}{{dt}}\\{U_{ind}} = - N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{d\left( {\cos \left( {\omega \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}}\\{U_{ind}} = N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\\{U_{ind}} = N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{\rm T}} \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{\rm T}} \cdot t} \right)\end{array}\] Der Faktor vor dem Sinus ist die Amplitude oder der Maximalwert der Spannung:\[{U_{\max }} = N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{\rm T}} \Rightarrow {U_{\max }} = 200 \cdot 8,4 \cdot 1{0^{ - 3}} \cdot 0,1{0^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{0,20}}\,V \approx 0,53\,V\]

Zeitlicher Verlauf der magnetischen Flussdichte in der Feldspule: \[{B_f}(t) = {B_{f0}} \cdot \frac{t}{{\Delta t'}}\] Berechnung der induzierten Spannung (allgemein): \[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - N' \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} \Rightarrow {U_{ind}} = - N' \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {{B_f}(t) \cdot A(t)} \right)\\{U_{ind}} = - N' \cdot \left( {{B_f}(t) \cdot \frac{{dA(t)}}{{dt}} + \frac{{d{B_f}(t)}}{{dt}} \cdot A(t)} \right)\\{U_{ind}} = - N' \cdot \left( {{B_{f0}} \cdot \frac{t}{{\Delta t'}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot \left( { - \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right)} \right) + \frac{{{B_{f0}}}}{{\Delta t'}} \cdot {b^2} \cdot \cos \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right)} \right)\\{U_{ind}} = \frac{{N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2}}}{{\Delta t'}} \cdot \left( {t \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right) - \cos \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right)} \right)\end{array}\]

Abb. 6 Skizze des Feldstrom mit Skizze Induktionsspannung

\[\begin{array}{l}\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} = - N' \cdot \Delta \Phi \Rightarrow \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} = - N' \cdot {\rm A} \cdot \Delta {\rm B}\\\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} = - N' \cdot {\rm A} \cdot \left( {0 - {B_{f0}}} \right)\\\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} = - 200 \cdot 0,1{0^2} \cdot \left( {0 - 8,4 \cdot 1{0^{ - 3}}} \right)\,Vs \approx 1,7 \cdot {10^{ - 2}}Vs\end{array}\]