Elektromagnetische Induktion

a)Berechnung der magnetischen Flussdichte in der Feldspule: \[{B_{f0}} = {\mu _0} \cdot \frac{{{I_f} \cdot N}}{l} \Rightarrow {B_{f0}} = 4 \cdot \pi  \cdot {10^{ - 7}} \cdot \frac{{4,0 \cdot 2000}}{{1,2}}\frac{{V \cdot s}}{{{m^2}}} \approx 8,3 \cdot {10^{ - 3}}T\]Berechnung der Induktionsspannung:\[\begin{array}{l}{U_{ind}} =  - N' \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\quad  \Rightarrow \quad {U_{ind}} =  - N' \cdot {B_{f0}}\frac{{dA(t)}}{{dt}}\\{U_{ind}} =  - N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{d\left( {\cos \left( {\omega  \cdot t} \right)} \right)}}{{dt}}\\{U_{ind}} = N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \omega  \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\\{U_{ind}} = N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{\rm T}} \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{{\rm T}} \cdot t} \right)\end{array}\] Der Faktor vor dem Sinus ist die Amplitude oder der Maximalwert der Spannung:\[{U_{\max }} = N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{\rm T}} \Rightarrow {U_{\max }} = 200 \cdot 8,4 \cdot 1{0^{ - 3}} \cdot 0,1{0^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{{0,20}}\,V \approx 0,53\,V\]

b)Zeitlicher Verlauf der magnetischen Flussdichte in der Feldspule: \[{B_f}(t) = {B_{f0}} \cdot \frac{t}{{\Delta t'}}\] Berechnung der induzierten Spannung (allgemein): \[\begin{array}{l}{U_{ind}} =  - N' \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}} \Rightarrow {U_{ind}} =  - N' \cdot \frac{d}{{dt}}\left( {{B_f}(t) \cdot A(t)} \right)\\{U_{ind}} =  - N' \cdot \left( {{B_f}(t) \cdot \frac{{dA(t)}}{{dt}} + \frac{{d{B_f}(t)}}{{dt}} \cdot A(t)} \right)\\{U_{ind}} =  - N' \cdot \left( {{B_{f0}} \cdot \frac{t}{{\Delta t'}} \cdot {b^2} \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot \left( { - \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right)} \right) + \frac{{{B_{f0}}}}{{\Delta t'}} \cdot {b^2} \cdot \cos \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right)} \right)\\{U_{ind}} = \frac{{N' \cdot {B_{f0}} \cdot {b^2}}}{{\Delta t'}} \cdot \left( {t \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot \sin \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right) - \cos \left( {\frac{{2 \cdot \pi }}{T} \cdot t} \right)} \right)\end{array}\]

c) 

d)\[\begin{array}{l}\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt}  =  - N' \cdot \Delta \Phi  \Rightarrow \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt}  =  - N' \cdot {\rm A} \cdot \Delta {\rm B}\\\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt}  =  - N' \cdot {\rm A} \cdot \left( {0 - {B_{f0}}} \right)\\\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt}  =  - 200 \cdot 0,1{0^2} \cdot \left( {0 - 8,4 \cdot 1{0^{ - 3}}} \right)\,Vs \approx 1,7 \cdot {10^{ - 2}}Vs\end{array}\]

e) Geht man davon aus, dass das Feld im Spulenaußenraum zu vernachlässigen ist, so ändert sich der Spannungsstoß nicht.

Andernfalls wird der Spannungsstoß kleiner, da das Feld im Außenraum der Spule dem Feld im Inneren der Spule entgegengerichtet ist.