Eine Ionenquelle liefert Ionen (Masse \(m\); Ladung \(q > 0\); \(v < 0,1 \cdot c\)) unterschiedlicher Geschwindigkeit. Das Blendensystem im Punkt P0 lässt nur Ionen in das homogene Kondensatorfeld (Feldstärke \(E\), Breite \(d_1\)) eintreten, die sich in Richtung der positiven \(x\)-Achse bewegen. Das Blendensystem im Punkt P1 wiederum lässt nur diejenigen aus dem Kondensator austreten, die um \(45^\circ \) nach unten abgelenkt wurden. Diese Ionen treten dann in einen Raum mit homogenem Magnetfeld (Flussdichte \(B\), Breite \(d_2\)) ein. Das Blendensystem im Punkt P2 bewirkt, dass der Detektor nur Ionen registriert, deren Geschwindigkeitsvektor in P2 mit der \(x\)-Achse einen Winkel von \(45^\circ \) einschließt.
a)Weise durch Rechnung nach, dass das Blendensystem bei P1 nur solche Ionen durchlässt, die bei P0 mit der Geschwindigkeit\[{v_0} = \sqrt {\frac{{q \cdot E \cdot {d_1}}}{m}} \]in das System eintreten. (8 BE)
b)Berechne den Abstand des Punktes P1 von der \(x\)-Achse in Abhängigkeit von \(d_1\). (7 BE)
c)Zeige durch Rechnung, dass Ionen der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) (vgl. Teilaufgabe a)) beim Eintritt in das Magnetfeld im Punkt P1 die Geschwindigkeit \({v_1} = {v_0} \cdot \sqrt 2 \) haben. (4 BE)
d)Leite her, wie man aus \(E\), \(B\), \(d_1\) und \(d_2\) die spezifische Ladung \(\frac{q}{m}\) jener Ionen bestimmen kann, die im Detektor nachgewiesen werden. (11 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Da in \(x\)-Richtung keine Kraft auf ein Teilchen wirkt, bleibt dessen Geschwindigkeit in \(x\)-Richtung konstant mit dem Wert \(v_{0}\). Das Teilchen durchläuft demnach den Kondensator in der Zeit \(t_{\rm{D}}=\frac{d_1}{v_{0}}\).
Während dieser Zeit wirkt auf das Teilchen in \(y\)-Richtung die elektrische Kraft \({{F_{{\rm{el}}}}}\) mit \({{F_{{\rm{el}}}} = E \cdot q}\), so dass das Teilchen der Masse \(m\) eine konstante Beschleunigung in \(y\)-Richtung vom Wert \({{a_y} = \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{m} = \frac{{E \cdot q}}{m}}\) erfährt. Diese Beschleunigung führt während der Durchflugzeit \(t_{\rm{D}}\) zu einer Geschwindigkeit \(v_y\) in \(y\)-Richtung vom Wert \(v_y = a_y \cdot t_{\rm{D}} = \frac{E \cdot q}{m} \cdot \frac{d_1}{v_{0}}\).
Da der Austrittswinkel aus dem Kondensator \(45^\circ\) beträgt, muss die Geschwindigkeit in \(y\)-Richtung zu diesem Zeitpunkt gleich der Geschwindigkeit in \(x\)-Richtung sein; daher gilt\[{v_{0}} = {v_y} \Leftrightarrow {v_{0}} = \frac{{E \cdot q}}{m} \cdot \frac{{{d_1}}}{{{v_{0}}}} \Leftrightarrow {v_{0}}^2 = \frac{{E \cdot q \cdot {d_1}}}{m} \Rightarrow {v_{0}} = \sqrt {\frac{{E \cdot q \cdot {d_1}}}{m}} \]
b)Der Austrittsort \(y_1\) eines Teilchens ergibt sich aus\[{y_1} = \frac{1}{2} \cdot {a_y} \cdot t_{\rm{D}}^2 = \frac{1}{2}\frac{{E \cdot q}}{m} \cdot {\left( {\frac{{{d_1}}}{{{v_{0}}}}} \right)^2} = \frac{1}{2}\frac{{E \cdot q}}{m} \cdot \frac{{{d_1}^2}}{{{v_{0}}^2}}\]Einsetzen des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) ergibt\[{y_1} = \frac{1}{2}\frac{{E \cdot q}}{m} \cdot \frac{{{d_1}^2}}{{\frac{{E \cdot q \cdot {d_1}}}{m}}} = \frac{1}{2}{d_1}\]
c)Die Gesamtgeschwindigkeit \(v_1\) beim Austritt aus dem Kondensator berechnet sich unter Benutzung von \({v_{0}} = {v_y}\) aus Teilaufgabe a) zu\[v_1 = \sqrt{v_{0}^2 + v_y^2} = \sqrt{2 \cdot v_{0}^2} = \sqrt{2}\cdot v_{0} = \sqrt{2} \cdot v_{0}\]
d)Die Teilchen beschreiben im Magnetfeld eine Kreisbahn. Auf dem Weg von einem Blendsystem zum anderen legen die Teilchen \(\frac{1}{4}\) eines Kreises zurück. Das aus dem (gedachten) Mittelpunkt dieses Kreises, der Eintritts- und die Austrittsstelle gebildete Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig; in ihm gilt nach dem Satz von PYTHAGORAS\[r^2 + r^2 = {d_2}^2 \Leftrightarrow 2 \cdot r^2 = {d_2}^2 \Rightarrow r = \frac{d_2}{\sqrt{2}}\]Auf der Kreisbahn wirkt die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft:\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot {v_1} \cdot B = m\frac{{v_1^2}}{r} \Leftrightarrow \frac{q}{m} = \frac{{{v_1}}}{{B \cdot r}}\]Einsetzen der Ergebnisse der Teilaufgaben a) und c) ergibt\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow q \cdot {v_1} \cdot B = m\frac{{v_1^2}}{r} \Leftrightarrow \frac{q}{m} = \frac{{\sqrt 2 \cdot {v_0}}}{{B \cdot \frac{{{d_2}}}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{{2 \cdot \sqrt {\frac{{E \cdot q \cdot {d_1}}}{m}} }}{{B \cdot {d_2}}}\]Quadrieren und Auflösen nach \(\frac{q}{m}\) liefert\[\frac{q}{m} = \frac{{2 \cdot \sqrt {\frac{{E \cdot q \cdot {d_1}}}{m}} }}{{B \cdot {d_2}}} \Rightarrow \frac{{{q^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{4 \cdot \frac{{E \cdot q \cdot {d_1}}}{m}}}{{{B^2} \cdot {d_2}^2}} \Leftrightarrow \frac{q}{m} = \frac{{4 \cdot E \cdot {d_1}}}{{{B^2} \cdot {d_2}^2}}\]
