Ein Elektronenstrahl enthalte Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeit.
a)Beschreiben und erklären Sie eingehend eine Möglichkeit, wie man daraus einen Strahl erzeugen kann, der nur Elektronen mit einer bestimmten Geschwindigkeit vo enthält. (9 BE)
Elektronen der Geschwindigkeit v = 6,0·106m/s treten mittig in das homogene Feld eines Plattenkondensators (Länge 5,0cm) ein. An den Platten des Kondensators wird eine Wechselspannung U der Frequenz 12kHz angelegt. Hinter dem Kondensator befindet sich eine Blende, deren Öffnung den Durchmesser d = 1,0mm hat. Im Abstand L = 3,0m hinter dieser Blende werden die Elektronen in Detektoren registriert (siehe Skizze).
b)Berechnen Sie die Flugzeit tF eines Elektrons durch den Kondensator und bestätigen Sie damit, dass sich für jedes einzelne Elektron die Feldstärke während der Durchquerung nur geringfügig ändert. (6 BE)
c)Begründen Sie, dass bei hinreichend großem Scheitelwert der angelegten Wechselspannung nach der Blende ein gepulster Elektronenstrahl zur Verfügung steht. (5 BE)
Um die Aufweitung eines Elektronenpulses durch die Coulomb-Abstoßung der Elektronen untereinander abzuschätzen, wird im Folgenden ein aus 100 Elektronen bestehender Puls (Maße siehe Skizze) betrachtet. Dazu berechnet man die Kraft auf ein einzelnes Elektron am Rand des Pulses, das von der Ersatzladung QErsatz den Abstand \(\frac{d}{2}\) hat. Die Ersatzladung (Wirkung der übrigen Elektronen) ergibt sich näherungsweise durch die Gesamtladung der restlichen Elektronen in der Mitte des Pulses (siehe Skizze).
d)Berechnen Sie die durch die Coulombkraft verursachte Beschleunigung a des betrachteten Elektrons. [zur Kontrolle a= 1,0· 1011m/s2] (6 BE)
e)Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass die Kraft während der gesamten Flugdauer nach dem Passieren der Blende konstant bleibt. In welchem Abstand von der Strahlmitte trifft dann das betrachtete Elektron am Schirm auf? (6 BE)
f)In der Realität ändert sich die Kraft auf das betrachtete Elektron. Wie wirkt sich dies auf das Ergebnis aus? (Begründen Sie Ihre Antwort!) (6 BE)
g)Begründen Sie, dass sich diese Ergebnisse auch auf einen ungepulsten (durchgehenden) Elektronenstrahl übertragen lassen. (5 BE).
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Man kann die Elektronen z.B. durch ein sogenannten Wiensches Geschwindigkeitsfilter schicken:
Ein feiner durch eine Blende kollimierter Strahl von Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeit tritt in einen Kondensator, dessen homogenes elektrisches Feld z.B. von oben nach unten gerichtet ist. Zusätzlich herrscht im Kondensator ein homogenes Magnetfeld, welches in die Papierebene gerichtet ist.
Auf ein Elektron wirken dann die elektrische Kraft \(\vec{F}_{el}\) und die Lorentzkraft \(\vec{F}_{\text{lor}}\) in entgegengesetzter Richtung. Haben diese beiden Kräfte den gleichen Betrag, so kann ein Elektron mit der Geschwindigkeit v0 = E/B die Anordnung unabgelenkt verlassen. Elektronen mit anderen Geschwindigkeiten werden abgelenkt und passieren die linke Blende nicht.\[F_{\text{lor}} = F_{el} \Rightarrow e \cdot v_0 \cdot B = e \cdot E \Rightarrow v_0 = \frac{E}{B} \]
b)Für die Flugzeit gilt: \[t_F = \frac{L_{\text{kond}}}{v} \Rightarrow t_F = \frac{5,0 \cdot 10^{-2}}{6,0 \cdot 10^6} \frac{m}{\frac{m}{s}} = 8,3 \cdot 10^{-9} s\]Für die Periodendauer T der Wechselspannung gilt: \[T = \frac{1}{f} \Rightarrow T = \frac{1}{12 \cdot 10^3} s = 8,1 \cdot 10^{-2}s\]Da die Flugdauer wesentlich kleiner als die Periodendauer der Wechselspannung ist, kann man davon ausgehen, dass auf die Elektronen während der Passage durch den Kondensator ein nahezu konstantes elektrisches Feld wirkt.
c)Die Elektronen können die Blende nur passieren, wenn sie im Kondensator nicht merklich abgelenkt werden. Dazu darf während des Aufenthalts im Kondensator die Spannung nur geringfügig vom Wert Null abweichen. Ist der Betrag der Spannung größer, werden die betroffenen Elektronen so weit abgelenkt, dass die auf die Blende treffen. Nach der Blende bleibt also nur ein Elektronenpaket übrig, das den Kondensator unabgelenkt durchflogen hat. Erst nach der Zeit T tritt wiederum solch ein Paket auf.
Für die Beschleunigung des Elektrons gilt \[F = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m} \Rightarrow a = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ - 20}}{\rm{N}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} = 1,0 \cdot {10^{11}}\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
e)Das betrachtete Elektron führt in vertikaler Richtung eine konstant beschleunigte Bewegung aus. Es gilt: \[y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + \frac{d}{2}\]Für die Flugdauer gilt: \[t = \frac{L}{v} \Rightarrow t = \frac{3,0}{6,0 \cdot 10^6}\frac{m}{\frac{m}{s}} = 5,0 \cdot 10^{-7}s\]Berechnung der Ablenkung aus der Horizontalen \[y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + \frac{d}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot 1,0 \cdot 10^{11} \cdot (5,0 \cdot 10^{-7})^2m + 0,0005m \]
\[s = 0,013m\]
f)Mit wachsendem Abstand des betrachteten Elektrons von QErsatz wird die Kraft auf dieses Elektron kleiner. Dadurch ist die tatsächliche Ablenkung etwas kleiner als die in Teilaufgabe e) berechnete.
g)Die Elektronen außerhalb des betrachteten Pakets sind vergleichsweise weit vom betrachteten Elektron entfernt.
Daher ist die durch diese Elektronen (außerhalb des Pakets) verursachte Kraft und erst recht deren Komponente in y-Richtung sehr klein. Die Wirkung der Elektronen außerhalb des Pakets kann also vernachlässigt werden. Insofern lassen sich die Ergebnisse der vorhergehenden Teilaufgaben auch auf einen ungepulsten Elektronenstrahl übertragen.
