Ein Gemisch aus einfach positiv geladenen Kohlenstoffionen \({}^{12}{\rm{C}}\) und \({}^{14}{\rm{C}}\) tritt durch eine Lochblende L1 in einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d=2,0\rm{cm}\) und der Länge \(l=4,0\rm{cm}\) ein. Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum. Das Magnetfeld mit der Flussdichte \(B_1\) ist zunächst abgeschaltet; an den Platten liegt die Spannung \(U\).
a)Skizziere die Bahnen zweier Ionen unterschiedlicher Masse, aber gleicher Geschwindigkeit zwischen L1 und L2.
Begründe, welche Bahn welchem Isotop zuzuordnen ist. (4 BE)
b)Die Ionen treten nun mit einer Mindestgeschwindigkeit \(1,5 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) in den Kondensator ein.
Berechne, wie groß die Spannung am Kondensator höchstens sein darf, damit die Ionen nicht auf die Kondensatorplatten treffen.
Berechne auch die dabei maximal auftretende Erhöhung der kinetischen Energie (in \(\rm{eV}\)). (10 BE)
Am Kondensator liegt nun die Spannung \(U=700\rm{V}\). Die Flussdichte \(B_1\) soll so eingestellt werden, dass alle Ionen mit der Geschwindigkeit \({v_0} = 2,5 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) den Kondensator unabgelenkt durchqueren.
c)Berechne \(B_1\).
Begründe, dass Ionen beider Kohlenstoffisotope den Kondensator durch die Blende L2 verlassen.
Das Magnetfeld rechts von L2 hat die Flussdichte \(B_2 = 0,14\rm{T}\). Die Teilchen, die den Kondensator verlassen, durchlaufen zwei Halbkreise.
d)Zeige, dass für den Abstand \(\Delta y\) der beiden Punkte, an denen die Ionen das Magnetfeld wieder verlassen, gilt:
\[\Delta y = \frac{2 \cdot (m_{c14} - m_{c12}) \cdot v_0}{e \cdot B_2}\](5 BE)
Die Flussdichte \(B_2\) wird nun variiert, alle anderen Größen bleiben unverändert. Die Ionen sollen durch zwei verschiebbare Detektoren D1 und D2 registriert werden, die einen Mindestabstand von \(1,5\rm{cm}\) haben. Die äußerste Position von D1 ist \(60\rm{cm}\) von der \(x\)-Achse entfernt.
e)Berechne, zwischen welchen Werten die Flussdichte \(B_2\) liegen muss, damit beide Isotope gleichzeitig gezählt werden können. (6 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)\({}^{14}{\rm{C}}\) wird aufgrund der größeren Masse in der gleichen Zeit weniger abgelenkt als \({}^{12}{\rm{C}}\).
Die Beschleunigung in \(y\)-Richtung ist: \[a_y = \frac{q \cdot E}{m}\]Also ist die Beschleunigung des schwereren Isotops kleiner und somit auch die Ablenkung.
b)In \(y\)-Richtung: Konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit\[0,5 \cdot a_y \cdot t^2 \leq \frac{d}{2} \Rightarrow \frac{e \cdot U}{2 \cdot d \cdot m(^{12}C)} \cdot \left(\frac{l}{v}\right)^2 \leq \frac{d}{2} \Rightarrow U \leq \frac{d^2 \cdot m(^{12}C) \cdot v^2}{e \cdot l^2}\]\[U \leq \frac{(2,0 \cdot 10^{-2})^2 \cdot 12 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \cdot (1,5 \cdot 10^5)^2}{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot (4,0 \cdot 10^{-2})^2}V = 0,70kV\]Da die Ionen genau in der Mitte des Plattenkondensators in diesen eintreten, haben sie beim Auftreffen auf die Platten genau die Potentialdifferenz (Spannung) \(\frac{1}{2} \cdot U = \frac{1}{2} \cdot 0,70{\rm{kV}} = 0,35{\rm{kV}}\) durchlaufen. Also gewinnen sie maximal die Energie \(\Delta {\rm{E}} = 0,35{\rm{keV}}\).
c)Wenn die Ionen den Kondensator unabgelenkt verlassen sollen, so müssen die nach unten wirkende elektrischen Kraft \({\vec F}_{\rm{el}}\) und die nach oben wirkende Lorentzkraft \({\vec F}_{\rm{L}}\) gleichen Betrag haben: \[q \cdot E = q \cdot {\rm{ }}{v_0} \cdot {B_1}\quad(1)\] Bei dieser Kraftgleichung spielt die Masse der Ionen keine Rolle. Aus \((1)\) folgt\[{B_1} = \frac{E}{{{v_0}}} = \frac{U}{{d \cdot {v_0}}} \Rightarrow {B_1} = \frac{{700{\rm{V}}}}{{0,020{\rm{m}} \cdot 2,5 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0,14{\rm{T}}\]
d)Im Magnetfeld B2 durchlaufen die Ionen eine Kreisbahn. Es gilt\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot {v_0} \cdot {B_2} \Leftrightarrow r = \frac{{m \cdot {v_0}}}{{e \cdot {B_2}}}\]\[\Delta y = 2 \cdot {r_{{}^{{\rm{14}}}{\rm{C}}}} - 2 \cdot {r_{{}^{{\rm{12}}}{\rm{C}}}} = \frac{{2 \cdot \left( {{m_{{}^{{\rm{14}}}{\rm{C}}}} - {m_{{}^{{\rm{12}}}{\rm{C}}}}} \right) \cdot {v_0}}}{{e \cdot {B_2}}}\quad(*)\]
e)Der maximale Radius ist \(r_{\rm{max}} = 30\rm{cm}\). Dieser wird von \({}^{{\rm{14}}}{\rm{C}}\)-Ionen erreicht, wenn das Magnetfeld \(B_2\) minimal ist: \[B_{2,min} = \frac{m({^{14}C}) \cdot v_0}{e \cdot r_{max}} \Rightarrow B_{2,min} = \frac{14 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \cdot 2,5 \cdot 10^5}{1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 0,30} T = 0,12 T\] Aus der Beziehung \((*)\) sieht man, dass \(\Delta y\) umso kleiner wird, je größer \(B_2\) ist. Da \(\Delta y\) mindestens \(1,5\rm{cm}\) sein soll, darf \(B_2\) nicht größer sein als \[B_{2,max} = \frac{2 \cdot (m(^{14}C) - m(^{12}C)) \cdot v_0}{e \cdot \Delta y} \Rightarrow B_{2,max} = \frac{2 \cdot 2 \cdot u \cdot v_0}{e \cdot \Delta y} \Rightarrow\]
\[B_{2,max} = \frac{4 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \cdot 2,5 \cdot 10^5}{1,60 \cdot 10^{-19} \cdot 0,015} T = 0,69 T \Rightarrow 0,12T \leq B_2 \leq 0,69T\]
