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Aufgabe

Ionen im elektrischen Querfeld (Abitur BY 1992 GK A1-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Strahl von H+-Ionen mit der einheitlichen Geschwindigkeit \(v_x=1{,}2\cdot 10^6\,\rm{m/s}\) tritt in das homogene Feld eines Plattenkondensators in der Mitte zwischen den Platten und parallel zu diesen ein. Am Kondensator liegt die Spannung \(3{,}0\,\rm{kV}\) an. Der Plattenabstand beträgt \(d=2{,}0\,\rm{cm}\), die Plattenlänge \(l=4{,}0\,\rm{cm}\).

a)Berechnen Sie die Zeit \(t_{\rm F}\), welche ein H+-Ion für seinen Flug durch den Plattenkondensator benötigt, sowie den Betrag der Zusatzgeschwindigkeit  \({\vec v_y}\), die ihm dabei erteilt wird. [Teilergebnis: vy = 4,8·105m/s] (11 BE)

b)Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Diagramms den Winkel α, den die Bahn des Ions nach dem Verlassen des Kondensators mit der ursprünglichen Flugrichtung vor dem Eintritt in den Kondensator einschließt. (3 BE)

c)Wie ändert sich der Winkel α, wenn anstelle des H+-Ions ein einfach geladenes He+-Ion mit der gleichen Geschwindigkeit in das Feld eintritt? Beantworten Sie die Frage nur qualitativ, und begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Im elektrischen Feld wirkt auf die positiven Ionen eine konstante elektrische Kraft, die eine konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung zur Folge hat (ohne Anfangsgeschwindigkeit). In x-Richtung wirkt keine Kraft, so dass in x-Richtung eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit vx vorliegt.

Berechnung der Laufzeit \(t_F\) im Kondensator\[l = {v_x} \cdot {t_F} \Leftrightarrow {t_F} = \frac{l}{{{v_x}}} \Rightarrow {t_F} = \frac{{4,0 \cdot {{10}^{ - 2}}}}{{1,2 \cdot {{10}^6}}}\frac{{\rm{m}}}{{\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\]Berechnung der Geschwindigkeit in y-Richtung am Ende des Kondensators: Auf das Teilchen wirkt die elektrische Kraft\[F_{el} = e \cdot E \Rightarrow F_{el} = e \cdot \frac{U}{d}\quad(1)\]Nach Newton II folgt dann für die Beschleunigung in y-Richtung\[F_{el} = m \cdot a_y \Rightarrow a_y = \frac{F_{el}}{m}\quad(2)\]Für die konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung gilt\[v_y = a_y \cdot t\quad(3)\]Für die Vertikalgeschwindigkeit am Kondensatorende muss man in (3) die Zeit \(t_F\) einsetzen. Berücksichtigt man auch noch die Gleichungen (1) und (2) so ergibt sich\[{v_y} = \frac{{e \cdot U}}{{m \cdot d}} \cdot {t_F} \Rightarrow {v_y} = \frac{{9,6 \cdot {{10}^7} \cdot 3,0 \cdot {{10}^3}}}{{2,0 \cdot {{10}^{ - 2}}}} \cdot 3,3 \cdot {10^{ - 8}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 4,8 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Hinweis: Verwenden Sie - wenn möglich - immer gleich die spezifische Ladung des Teilchens (e/m), Sie sparen damit eine Rechenoperation!

 

b)Der Winkel a, den die Bahn nach Verlassen des Kondensators mit der Horizontalen bildet, könnte aus der Steigung der Bahn am Ende des Kondensators (Ableitung der Bahngleichung) bestimmt werden. Hier geht es schneller, wenn man die Vertikal- und die Horizontalgeschwindigkeit in Beziehung setzt:\[\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} \Rightarrow \tan \alpha = \frac{4,8 \cdot 10^5}{12 \cdot 10^5} = 0,40 \Rightarrow \alpha = 22°\]

c)Nach Teilaufgabe a) kann man für die Vertikalgeschwindigkeit schreiben: \[v_y = \frac{e \cdot U}{m \cdot d}t_F \text{und für } t_F = \frac{l}{v_x} \Rightarrow v_y = \frac{e \cdot U \cdot l}{m\cdot d \cdot v_x}\]Man sieht aus der Beziehung, dass die Vertikalgeschwindigkeit indirekt proportional zur Masse des eingeschossenen Teilchens ist, wenn die anderen Größen fest gehalten werden.

Da die Masse des Heliumions etwa viermal so groß ist wie die Masse des Wasserstoffions, ist die Vertikalgeschwindigkeit des Heliumions beim Verlassen des Kondensators nur ein Viertel der des Wasserstoffions. Damit verringert sich der Tangens des Winkels α und somit auch α selbst.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern