Mit einem Elektronenfilter werden Rußpartikel aus dem Abgas von Kohlekraftwerken entfernt. Nebenstehend ist ein wesentliches Element des Filters im Querschnitt dargestellt. Die negativ geladenen Sprühkathoden sind parallele Drähte, die jeweils den gleichen Abstand zu einer positiv geladenen Platte (Anode) haben.
a)Zeichne in die obige Abbildung das elektrische Feldlinienbild zwischen den Sprühkathoden und der Anode ein. (4 BE)
b) Im Abgas sind stets in geringer Zahl freie Elektronen vorhanden.
Begründe, warum diese Elektronen in der Nähe der Drähte besonders stark beschleunigt werden.
Beschreibe die Folgeprozesse, die dazu führen, dass aus den Nahbereichen der Drähte sehr viele Elektronen herausströmen. (4 BE)
Die von den Kathoden "abgesprühten" Elektronen bewirken, dass die Rußpartikel negativ geladen sind und daher von der Anode angezogen werden. Dies hat im Filter einen elektrischen Strom der konstanten Stromstärke \(1,2\rm{A}\) zur Folge. Pro Stunde werden aus dem Abgas \(10\rm{t}\) Ruß herausgefiltert. Ein Rußpartikel besitzt im Mittel die Masse \(7,7\cdot 10^{-15}\rm{kg}\) und die Ladung \(q\).
c)Berechne die Ladung \(q\). [zur Kontrolle: \(q=-3,3\cdot 10^{-15}\rm{C}\)] (5 BE)
In einem vereinfachten Modell werden die Sprühkathoden durch eine negativ geladene Platte ersetzt, so dass ein Plattenkondensator vorliegt. Ferner tragen alle Rußpartikel bereits die Ladung \(q\), wenn sie in \(x\)-Richtung mit der einheitlichen Geschwindigkeit \(v_x=5,6\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) mit dem Abgas einströmen. Die an den Platten anliegende Spannung beträgt \(U=20\rm{kV}\), der Plattenabstand ist \(d = 20\rm{cm}\).
d)Zeige rechnerisch, dass die auf die Rußpartikel wirkende Gravitationskraft im Vergleich zur elektrischen Kraft vernachlässigbar ist. (5 BE)
Um die Bewegung der Rußpartikel zu beschreiben, ist neben der elektrischen Kraft auch die Reibungskraft zu berücksichtigen.
e)Begründe, dass die im Abgas migeführten Rußpartikel eine Reibungskraft in positive \(y\)-Richtung erfahren, jedoch keine in \(x\)-Richtung. (4 BE)
f)Erkläre, dass sich die Rußpartikel nach kurzer Zeit in negativer \(y\)-Richtung mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v_y\) bewegen. (3 BE)
g)Berechne die für eine vollständige Reinigung des Abgases erforderliche Mindestlänge der Kondensatorplatten, wenn \(v_y = -0,66\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). (4 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Feldlinien entspringen senkrecht aus der positiv geladenen Platte und treten senkrecht in die Elektroden ein.
b)Der Betrag der elektrischen Feldstärke ist in der Nähe der Sprühkathoden besonders hoch (hohe Feldliniendichte). Dadurch ist auch die Kraft auf die freien Elektronen in diesem Bereich deutlich höher als im Anoden-Bereich, die Elektronen werden also im Nahbereich der Sprühkathoden stark beschleunigt.
Die stark beschleunigten Elektronen sind in der Lage, Abgasteilchen zu ionisieren und damit weitere Elektronen freizusetzen, die wiederum stark beschleunigt werden und zu weiteren Ionisationen fähig sind. Die vielen durch diese Folgeprozesse frei gesetzten Elektronen strömen aus dem Nahbereich der Sprühkathoden in Richtung der positiv geladenen Platte. Auf diesem Weg können sich die Elektronen an neutrale Rußteilchen anlagern, sodass diese negativen Partikel von der Anode angezogen werden.
c)Berechnung der Zahl \(N\) der Rußpartikel, die in einer Stunde durch den Filter treten: \[N = \frac{{{m_{{\rm{ges}}}}}}{{{m_{{\rm{Par}}}}}} \Rightarrow N = \frac{{10 \cdot {{10}^3}{\rm{kg}}}}{{7,7 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{kg}}}} = 1,3 \cdot {10^{18}}\]
Berechnung der Ladung \(q\) eines Rußpartikels: \[|q| = \frac{{I \cdot \Delta t}}{N} \Rightarrow |q| = \frac{{1,2{\rm{A}} \cdot 3600{\rm{s}}}}{{1,299 \cdot {{10}^{18}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{As}}\]
d)Berechnung der Gewichtskraft eines Partikels: \[{F_{{\rm{G}}{\rm{,Par}}}} = {m_{{\rm{Par}}}} \cdot g \Rightarrow {F_{{\rm{G}}{\rm{,Par}}}} = 7,7 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} = 7,6 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{N}}\]
Berechnung der elektrischen Kraft \(F_{\rm{el,Par}}\) auf ein Partikel: \[{F_{{\rm{el}}{\rm{,Par}}}} = |q| \cdot E = |q| \cdot \frac{U}{d} \Rightarrow {F_{{\rm{el}}{\rm{,Par}}}} = 3,33 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{As}} \cdot \frac{{20 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}}{{0,20{\rm{m}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{N}}\] Die Rechnung zeigt, dass die elektrische Kraft \(F_{\rm{el,Par}}\) auf ein Partikel wesentlich größer ist als die Gravitationskraft \(F_{\rm{G,Par}}\).
e)Die elektrisch geladenen Rußpartikel bewegen sich im Filter in Richtung der negativen \(y\)-Achse in Bezug zum Abgas, daher tritt eine Reibungskraft in Richtung der positiven \(y\)-Achse auf. In der \(x\)-Richtung tritt keine Relativbewegung der Rußpartikel in Bezug zum Abgas auf, daher gibt es auch keine Reibungskraft in \(x\)-Richtung.
f)Die Reibungskraft \(F_r\) ist geschwindigkeitsabhängig: \(F_r\sim v_y\)
Tritt ein Rußpartikel in den Kondensator ein, wirkt in \(y\)-Richtung zunächst nur die elektrische Kraft und beschleunigt das Rußpartikel in \(y\)-Richtung. Da nun aber eine Geschwindigkeitskomponente in die negative \(y\)-Richtung vorliegt, tritt die geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft in positiver \(y\)-Richtung auf. Nach sehr kurzer Zeit stellt sich ein Gleichgewicht dieser beiden Kräfte ein, die Rußpartikel bewegen sich in \(y\)-Richtung gleichförmig.
g)Für die vollständige Reinigung des Abgases müssen auch Teilchen, die ganz nahe an der negativen Platte in den Kondensator strömen, in der Zeit \(\Delta t\), in der sie sich im Kondensator befinden, bis zur positiv geladenen Platte gezogen werden. Berechnung der Zeit \(\Delta t\): \[\Delta t = \frac{L_{\rm{min}}}{v_x}\quad(1)\] In dieser Zeitspanne \(\Delta t\) müssen die Rußpartikel in negativer \(y\)-Richtung die Strecke \(d\) durchlaufen haben. Es gilt also auch \[\Delta t = \frac{d}{|v_y|}\quad(2)\] Aus \((1)\) und \((2)\) folgt dann \[\frac{{{L_{{\rm{min}}}}}}{{{v_x}}} = \frac{d}{{|{v_y}|}} \Leftrightarrow {L_{{\rm{min}}}} = {v_x} \cdot \frac{d}{{|{v_y}|}} \Rightarrow {L_{{\rm{min}}}} = 5,6\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{{0,2{\rm{m}}}}{{| - 0,66|\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 1,7{\rm{m}}\] Für eine vollständige Reinigung sollte der Kondensator eine Mindestlänge von ca. \(1,7\rm{m}\) haben.
