Aus einer Elektronenquelle (EQ) treten Elektronen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit in einen Beschleunigungskondensator ein, an dem zunächst die Spannung \({{U_{\rm{B}}} = 1{,}0\,{\rm{kV}}}\) anliegt.
a)Berechne die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen nach Durchlaufen des Beschleunigungskondensators.
Begründe, dass hier nichtrelativistisch gerechnet werden kann. [zur Kontrolle: \(v = 1{,}9 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)] (5 BE)
Anschließend gelangen die Elektronen in einen gebogenen Plattenkondensator mit Plattenabstand \(d=1{,}4\,\rm{cm}\). Bei Anliegen einer Spannung \(U_{\rm{K}}\) durchlaufen sie einen Viertelkreis mit Radius \(r=2{,}1\,\rm{m}\).
b)Da der Plattenabstand \(d\) sehr viel kleiner ist als der Bahnradius \(r\), ist der Betrag der elektrischen Feldstärke \(E\) im Kondensator näherungsweise durch die Beziehung \(E = \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}\) gegeben.
Begründe diesen Sachverhalt. (4 BE)
c)Erläutere die Gründe, die dazu führen, dass sich die Elektronen in dem gebogenen Kondensator auf einer Kreisbahn mit konstanter Bahngeschwindigkeit bewegen.
Gib auch die Polung des Kondensators an. (6 BE)
d)Zeige, dass für die Kondensatorspannung gilt\[{U_{\rm{K}}} = \frac{{m_{\rm{e}} \cdot d \cdot {v^2}}}{{e \cdot r}}\]
Berechne ihren Wert (Elektronenmasse \(m_{\rm{e}}\), Elementarladung \(e\)). (5 BE)
Bei einer Erhöhung der Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) muss auch die Kondensatorspannung \({{U_{\rm{K}}}}\) erhöht werden, damit die Elektronen den Detektor erreichen.
e)Ein Experimentator stellt fest, dass bei kleinen Veränderungen von \({{U_{\rm{B}}} = 1{,}0\,{\rm{kV}}}\) das Verhältnis \(\frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{{U_{\rm{B}}}}}\) konstant ist.
Bestimme, wie dieses Verhältnis von den geometrischen Größen \(r\) und \(d\) abhängt. (5 BE)
f)Bei sehr großen Werten von \({{U_{\rm{B}}}}\) ändert sich das Verhältnis aus Teilaufgabe e) bei Variation von \({{U_{\rm{B}}}}\).
Nenne die Ursache für diese Änderung.
Gib die jetzt erforderlichen Ansätze für die Berechnung von \(v\) und \({{U_{\rm{K}}}}\) an. (4 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Aufgrund der Energieerhaltung gilt\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,el}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot v_e^2 = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Rightarrow {v_e} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v_e} = \sqrt {2 \cdot 1{,}7588 \cdot {{10}^{11}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 1{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}} = 1{,}9 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]Da \({v_e} < 0{,}1 \cdot c\) ist, war die nichtrelativistische Rechnung erlaubt.
b)Ein homogenes elektrisches Feld liegt annähernd vor, wenn die Feldlinien weitgehend parallel zueinander verlaufen. Da der Abstand \(d\) der Kondensatorplatten relativ klein im Vergleich zum Krümmungsradius \(r\) der Platten ist, kann man von ebenen, nahezu parallelen, gegenüberliegenden Plattenstücken ausgehen. In den jeweils betrachteten Teilbereichen werden die elektrischen Feldlinien nahezu parallel zueinander verlaufen, es liegt also in guter Näherung ein homogenes elektrisches Feld vor, in dem gilt \(E = \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}\). Da man sich den Gesamtkondensator aus vielen nebeneinanderliegenden Plattenkondensatoren aufgebaut denken kann, ist die Beziehung \(E = \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}\) für den gesamten Kondensator anwendbar.
c)Ab dem Eintritt in den Kondensator erfahren die Elektronen aufgrund des elektrischen Feldes im Kondensator ein Kraft senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung. Diese Kraft hat immer den gleichen Betrag und ist stets auf den Mittelpunkt der Kreisbahn gerichtet. Es liegt also eine Zentripetalkraft vor.
Da in die jeweilige Bewegungsrichtung der Elektronen keine Kraft wirkt, ändert sich ihre Bahngeschwindigkeit nicht.
Damit sich die Elektronen wie in der Zeichnung skizziert bewegen, muss die untere Platte mit dem kleineren Krümmungsradius positiv und die obere Platte negativ geladen sein.
d)Berechnung des Betrags der elektrischen Kraft \({\vec F_{{\rm{el}}}}\) auf die Elektronen im Kondensator:\[{F_{{\rm{el}}}} = e \cdot E = e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}\]Dabei ist \(E\) die elektrische Feldstärke im Kondensator. Diese elektrische Kraft \({\vec F_{{\rm{el}}}}\) stellt die für das Durchlaufen der Kreisbahn notwendige Zentripetalkraft \({\vec F_{{\rm{ZP}}}}\) dar:\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_e} \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d} \Leftrightarrow {U_K} = \frac{{{m_e} \cdot {v^2} \cdot d}}{{r \cdot e}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{U_{\rm{K}}} = \frac{{{{9{,}1\cdot 10^{-31}\,\rm{kg}\cdot \left( {1{,}9 \cdot 1{0^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} \cdot 1{,}4 \cdot 1{0^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}{{2{,}1\,{\rm{m}} \cdot 1{,}6 \cdot 1{0^{-19}}\,\rm{C}}} = 14\,{\rm{V}}\]
e)Bei \(U_{\rm{B}}=1{,}0\,\rm{kV}\) darf noch nicht relativistisch gerechnet werden. Es gilt\[\frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v^2} = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {U_B} = \frac{{{m_e} \cdot {v^2}}}{{2 \cdot e}} \quad (1)\]sowie\[\frac{{{m_e} \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d} \Leftrightarrow {U_{\rm{K}}} = \frac{{{m_e} \cdot {v^2} \cdot d}}{{r \cdot e}} \quad(2)\]Dividiert man Gleichung \((2)\) durch Gleichung \((1)\), so folgt\[\frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{{U_{\rm{B}}}}} = \frac{{2 \cdot d}}{r}\]
f)Bei sehr großen Werten der Beschleunigungsspannung UB ist eine relativistische Rechnung für die Berechnung von v und die Berechnung der Kondensatorspannung UK notwendig. Aus\[{E_{{\rm{kin}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} - {m_0} \cdot {c^2} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\]lässt sich zuerst \(v\) und aus\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d} \cdot e\]dann \({{U_{\rm{K}}}}\) berechnen.
