Betrachtet wird ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte \({B = 21\,\rm{mT}}\). Senkrecht zur Magnetfeldrichtung bewegen sich Elektronen auf einer Kreisbahn.
a)
Berechne für Elektronen der Geschwindigkeit \({2{,}5 \cdot 10^{7}\,\rm{\frac{m}{s}}}\) den Radius \({\rm{r}}\) der Kreisbahn. (4 BE)
b)
Weise nach, dass für die Umlaufzeit \({\rm{T}}\) unabhängig vom Bahnradius die Beziehung\[{T = \frac{2\,\pi \cdot m_{\rm{e}}}{e\cdot B}}\]gilt.
Berechne die Umlaufzeit für das gegebene Magnetfeld. (6 BE)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze eines Magnetron
Abb. 1 zeigt ein sogenanntes Magnetron im Querschnitt. Dieses besteht aus einem weitgehend hohlen Kupferzylinder. In der Mitte befindet sich eine Glühkathode, aus der Elektronen austreten. Der Zylinder selbst ist gegenüber der Glühkathode positiv geladen und bildet die Anode. Der gesamte Aufbau befindet sich in einem homogenen Magnetfeld, das senkrecht zur Zeichenebene gerichtet ist.
c)
Begründe, dass im Inneren des Zylinders der Betrag der elektrischen Feldstärke nach außen abnimmt. (3 BE)
d)
Die Elektronen bewegen sich auf einer Spiralbahn nach außen (in Abb. 1 gestrichelt dargestellt).
Erkläre diesen Sachverhalt.
Gib auch die Orientierung des Magnetfeldes an. (5 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)
Da sich die Elektronen senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld bewegen, wirkt auf sie die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft:\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{ZP}}}} &=& {F_{\rm{L}}}\\\frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot {v^2}}}{r} &=& e \cdot v \cdot B\\r &=& \frac{{{m_{\rm{e}}} \cdot v}}{{e \cdot B}}\end{eqnarray}\]Mit den gegebenen Werten \( B = 21 \,\rm{mT} = 21 \cdot 10^{-3}\,\rm{T}\), \(v = 2{,}5 \cdot 10^7 \,\rm{\frac{m}{s}}\), \(m_{\rm{e}} = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\rm{kg}\) und \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \,\rm{C}\) ergibt sich somit (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[r = \frac{9{,}1 \cdot 10^{-31}\,\rm{kg} \cdot 2{,}5 \cdot 10^7 \,\rm{\frac{m}{s}} }{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\rm{C} \cdot 21 \cdot 10^{-3}\,\rm{T}} = 6{,}8 \cdot 10^{-3} \,\rm{m} = 6{,}8 \,\rm{mm} \]
b)
Für die Herleitung der Umlaufdauer \(T\) nutzen wir die Definiton der Bahngeschwindigkeit \(v\) bei einer Kreisbewegung\[v = \frac{{2\,\pi \cdot r}}{T} \Leftrightarrow T = \frac{{2\,\pi \cdot r}}{v}\]Nutzen wir nun den in Teilaufgabe a) hergeleiteten Term für den Radius \(r\), so erhalten wir\[T = \frac{2 \,\pi \cdot m_{\rm{e}}}{e\cdot B}\]Mit den gegebenen Werten für \( B = 21 \,\rm{mT} = 21 \cdot 10^{-3}\,\rm{T}\), \(m_{\rm{e}} = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\rm{kg}\) und \(e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\) ergibt sich (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[ T = \frac{2\, \pi \cdot 9{,}1 \cdot 10^{-31} \,\rm{kg} }{1{,}602 \cdot 10^{-19}\,\rm{C} \cdot 21 \cdot 10^{-3}\,\rm{T}} = 1{,}7 \cdot 10^{-9} \,\rm{s} = 1{,}7 \,\rm{ns} \]
c)
Die Glühkathode ist negativ geladen und der äußere Zylinder als Anode ist positiv geladen. Somit zeigen die Feldlinien des elektrischen Feldes vom äußeren Zylinder hin zur Glühkathode. Die Feldlinien liegen dabei vom kleineren Radius (Glühkathode) zum größeren Radius (äußerer Zylinder) immer weiter auseineinander. Dies bedeutet, dass auch die Feldstärke von der Glühkathode zum äußeren Zylinder hin immer weiter abnimmt.
d)
Auf die bewegten Elektronen wirkt im Magnetfeld die LORENTZ-Kraft. Diese zwingt die Elektronen zuerst einmal auf eine Kreisbahn. Da nun aber ein zusätzliches elektrisches Feld herrscht, wirkt auf die negativ geladenen Elektronen die COULOMB-Kraft entgegen der Feldlinienrichtung zum äußeren Zylinder hin. Das Zusammenwirken beider Kräfte ergibt die skizzierte Spiralbahn.
Zur Bestimmung der Orientierung des Magnetfeldes nutzen wir in Abb. 1 die Drei-Finger-Regel der linken Hand, da die Elektronen negativ geladen sind:
Der Daumen zeigt in die Bewegungsrichtung der Elektronen auf der Spiralbahn.
Der Mittelfinger zeigt in die Richtung der LORENTZ-Kraft, also zur Glühkathode hin.
Dann zeigt der Zeigefingen in Richtung der magnetischen Feldlinien, also aus der Zeichenebene heraus.
