In der Quelle Q werden ruhende Protonen mit Hilfe der Spannung \(U_0\) auf die Geschwindigkeit \(v_0=1{,}4\cdot 10^5\,\rm{\frac{m}{s}}\) beschleunigt.
Anschließend treten sie bei A in den Protonenbeschleuniger ein. Dort werden sie durch ein homogenes Magnetfeld der Stärke \(B=5{,}0\,\rm{mT}\) auf die abgebildete Bahn gezwungen. Dabei sind die beiden Strecken [AB] und [CD] magnetfeldfrei.
Auf diesen beiden Strecken werden sie durch die Spannungen \(U_{\rm{AB}}\) bzw. \(U_{\rm{CD}}\) so beschleunigt, dass sich ihre Geschwindigkeiten jeweils verdoppeln.
Die Bahnabschnitte BC und DA werden als Kreisbogen mit den Radien \(r\) bzw. R angesehen. Relativistische Effekte sollen bei den Berechnungen unberücksichtigt bleiben.
a)Bestimmen Sie die Beschleunigungsspannung \(U_0\). (3 BE)
Zunächst soll die Bewegung der Protonen im ersten Umlauf betrachtet werden.
b)Ermitteln Sie die Spannung \(U_{\rm{AB}}\), den Radius \(r\) und die Zeit, die ein Proton für den Kreisabschnitt BC benötigt.
Geben Sie an, wie das Magnetfeld orientiert ist. (11 BE)
c)Zeigen Sie, dass \(R=2\cdot r\) gelten muss, damit sich die Protonen auf der vorgegebenen Bahn bewegen. (4 BE)
Nach jeweils einem Umlauf der Protonen muss die magnetische Flussdichte \(B\) des Magnetfeldes nachreguliert werden, damit sich die Protonen weiter auf der Sollbahn bewegen.
d)Ermitteln Sie den Faktor, um den die magnetische Flussdichte \(B\) von Umlauf zu Umlauf verändert werden muss. (4 BE)
Abschließend soll diskutiert werden, ob dieser Beschleuniger realisierbar ist. Dazu wird der vierte Umlauf betrachtet.
e)Ermitteln Sie die Geschwindigkeiten der Protonen in den Punkten C und D.
Berechnen Sie die dafür notwendige Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{CD}}\).
Interpretieren Sie diese Ergebnisse im Hinblick auf die Realisierbarkeit dieses Beschleunigers. (12 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Beachte: die Protonen sind positiv geladen! Die Beschleunigung der Protonen in der Quelle erfolgt durch ein Anode-Kathode-System, bei der die potentielle Energie der Protonen an der Anode in kinetische Energie an der Kathode umgewandelt wird. Somit gilt\[e \cdot {U_0} = \frac{1}{2} \cdot m_p \cdot {v_0}^2 \Leftrightarrow {U_0} = \frac{{{m_p}}}{{2 \cdot e}} \cdot {v_0}^2 \Rightarrow {U_0} = \frac{{1{,}67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}}{{2 \cdot 1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} \cdot {\left( {1{,}4 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 102\,{\rm{V}}\]
b)Berechnung von \({U_{{\rm{AB}}}}\): Die Geschwindigkeit \(v_B\) bei \(B\) soll doppelt so groß wie \(v_0\) sein; somit muss die kinetische Energie bei B viermal so groß wie bei A sein. Die Spannung \(U_{{\rm{AB}}}\) muss also den Zuwachs \(3 \cdot E_{kin,A}\) erbringen. Somit gilt\[{U_{{\rm{AB}}}} = 3 \cdot {U_0} \Rightarrow {U_{{\rm{AB}}}} = 306\,{\rm{V}}\]Berechnung von \(r\): Als Zentripetalkraft \({F_{{\rm{ZP}}}}\) wirkt hier die LORENTZ-Kraft \({F_{\rm{L}}}\). Somit gilt\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{{m_p} \cdot {v_{\rm{B}}}^2}}{r} = e \cdot {v_{\rm{B}}} \cdot B \Leftrightarrow r = \frac{{{m_p} \cdot {v_{\rm{B}}}}}{{e \cdot B}} \Rightarrow r = \frac{{1{,}67 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 2{,}8 \cdot {{10}^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1{,}60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 5{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{T}}}} = 0{,}58\,{\rm{m}}\]Berechnung der Zeit für einen Viertelkreis:\[\Delta {t_{{\rm{BC}}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{{{v_{\rm{B}}}}} \Rightarrow \Delta {t_{{\rm{BC}}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{2 \cdot \pi \cdot 0{,}58\,{\rm{m}}}}{{2{,}8 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 3{,}3\,{\rm{\mu s}}\]Mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (Daumen in Bewegungsrichtung, Zeigefinger in Magnetfeldrichtung, Mittelfinger in Richtung der Zentripetalkraft) ermittelt man, dass da Magnetfeld senkrecht in die Papierebene gerichtet sein muss.
c)Da die Geschwindigkeit bei D doppelt so hoch sein soll wie bei B, gilt\[r = \frac{{{m_p} \cdot {v_{\rm{B}}}}}{{e \cdot B}}\;{\rm{und}}\;R = \frac{{{m_p} \cdot {v_{\rm{D}}}}}{{e \cdot B}} \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{{{v_{\rm{D}}}}}{{{v_{\rm{B}}}}} = \frac{2}{1}\]
d)Damit die Radien eingehalten werden können muss B erhöht werden. Die Geschwindigkeit bei B beim ersten Umlauf sei \(v_{B,1}\), beim zweiten Umlauf \(v_{B,2}\). Dann gilt\[\frac{v_{B,2}}{v_{B,1}}= \frac{4}{1}\]da bei einem Umlauf zwei Geschwindigkeitsverdoppelung stattfinden. Damit der Radius \(r\) festbleiben kann, muss wegen \(r = \frac{m \cdot v_B}{e \cdot B}\) der Quotient \(\frac{v_B}{B}\) konstant bleiben. Dies bedeutet, dass die Flussdichte von Umlauf zu Umlauf um den Faktor 4 gesteigert werden muss.
e)Nach drei Runden gilt \(v_{A,3} = 4^3 \cdot v_0 = 64 \cdot v_0\). Damit ergibt sich für \(v_{C,3} = 2 \cdot v_{A,3} \Rightarrow v_{C,3} = 128 \cdot 1{,}4 \cdot 10^5\,\rm{\frac{m}{s}} = 1{,}8 \cdot 10^7\,\rm{\frac{m}{s}}\)
Für die Zunahme der kinetischen Energie von C nach D beim dritten Umlauf gilt\[\Delta E_{kin,CD} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left( v_D^2 - v_C^2 \right) \Rightarrow \Delta E_{kin,CD} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \cdot \left(256^2 - 128^2\right)\]\[\Delta E_{kin,CD} = e \cdot U_0 \cdot 49152 \approx 5{,}0\,\rm{MV}\]Wegen der enorm hohen Spannungs- und Flussdichteerhöhung, die hier in sehr kurzer Zeit notwendig wäre, ist dieser Beschleuniger so nicht realisierbar.
