a)Erkläre Aufbau und Funktionsweise eines Zyklotrons anhand einer beschrifteten Skizze. (8 BE)
b)Die magnetische Flussdichte in einem Zyklotron beträgt \(0{,}78\,\rm{T}\).
Berechne den maximalen Durchmesser der Bahn von Protonen, die in diesem Zyklotron auf \(10\%\) der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden. (5 BE)
c)Erkläre, warum ein klassisches Zyklotron für die Beschleunigung der Teilchen auf größere Geschwindigkeiten als \(0{,}10\,c\) nicht geeignet ist. (4 BE)
d)In einem anderen Beschleunigertyp können Protonen hingegen auf eine kinetische Energie von \(4{,}4\,\rm{GeV}\) beschleunigt werden.
Bestimme die relativistische Masse dieser Protonen (in Vielfachen ihrer Ruhemasse) sowie ihre Geschwindigkeit. (5 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Aufbau eines Zyklotrons
a)Die Anordnung befindet sich im Vakuum. An den Duanden D1 und D2 liegt eine hochfrequente Spannung \(U\). Senkrecht zur Zeichenebene liegt ein Magnetfeld, das die Protonen, die aus der Quelle kommen auf Kreisbahnen zwingt. Die Spannung ist so geschaltet, dass die Protonen im Raum zwischen den Duanden D1 und D2 beschleunigt werden. Mit der Ablenkplatte H wird der Teilchenstrahl aus dem Zyklotron gelenkt. Beim Normalzyklotron kann die Frequenz der Beschleunigungsspannung festbleiben, da sich die Einflüsse von längerem Weg und höherer Geschwindigkeit auf den weiter außen liegenden Bahnen gerade kompensieren.
b)Die Protonen durchlaufen Kreisbahnen. Die Zentripetalkraft wird durch die LORENTZ-Kraft erbracht\[{{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow e \cdot v \cdot B = \frac{{{m_{\rm{p}}} \cdot {v^2}}}{{{r_{\max }}}} \Leftrightarrow {r_{\max }} = \frac{{{m_{\rm{p}}} \cdot v}}{{e \cdot B}} = \frac{v}{{\frac{e}{{{m_{\rm{p}}}}} \cdot B}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{r_{\max }} = \frac{{3{,}0 \cdot {{10}^7}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{9{,}579 \cdot {{10}^7}\,\frac{{{\rm{A}\,\rm{s}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 0{,}78\,{\rm{T}}}} = 0{,}40\,{\rm{m}} \Rightarrow {d_{\max }} = 0{,}80\,{\rm{m}}}\]
c)Bei Geschwindigkeiten \(v>0{,}1\,c\) wäre die relativistische Massenzunahme des Protons zu berücksichtigen. Für die Umlaufdauer des Protons gilt\[T = \frac{{2 \cdot \pi \cdot r}}{v}\quad (1)\]Setzt man in \((1)\) die Beziehung \(r = \frac{{{m_{\rm{p}}} \cdot v}}{{e \cdot B}}\) für den Radius aus Teilaufgabe b) ein, so folgt\[T = \frac{{2 \cdot \pi \cdot \frac{{{m_{\rm{p}}} \cdot v}}{{e \cdot B}}}}{v} = \frac{{2 \cdot \pi \cdot {m_{\rm{p}}}}}{{e \cdot B}}\]Aus dieser Beziehung erkennt man, dass die Umlaufdauer und somit auch die Umlauffrequenz des Protons massenabhängig ist. Um eine optimale Beschleunigung der Protonen zu erreichen, müsste auch die Frequenz des Zyklotrons angepasst werden.
d)Die kinetische Energie der Protonen ist die Differenz aus Gesamtenergie \(E\) und der Ruheenergie \(E_0\)\[{{E_{{\rm{kin}}}} = E - {E_0} = \left( {m - {m_0}} \right) \cdot {c^2} \Leftrightarrow m = {m_0} + \frac{{{E_{{\rm{kin}}}}}}{{{c^2}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{m = 1{,}673 \cdot {{10}^{-27}}\,{\rm{kg}} + \frac{{1{,}60 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{A}\,\rm{s}} \cdot 4{,}4 \cdot {{10}^9}\,{\rm{V}} }}{{{{\left( {3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}} = 9{,}50 \cdot {{10}^{-27}}\,{\rm{kg}}}\]Damit ergibt sich\[{\frac{m}{{{m_0}}} = 5{,}7}\]Berechnung der Geschwindigkeit\[{m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow 1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{{{m_0}}}{m}} \right)}^2} \Rightarrow v = c \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_0}}}{m}} \right)}^2}} }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{v = 3{,}00 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {0{,}176} \right)}^2}} = 2{,}95 \cdot {{10}^8}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 0{,}98\,c}\]
