Die nebenstehende Skizze zeigt im linken Teil die Beschleunigung von Elektronen in einem elektrischen Längsfeld durch Spannung \(U_x\) auf die Geschwindigkeit \(v_{\rm{0}}\). Die Elektronen gelangen in elektrisches Querfeld (Ablenkspannung \(U_y\)), werden dort abgelenkt und verlassen den Kondensator in einen feldfreien Raum. Schließlich treffen die Elektronen auf einen Leuchtschirm. Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum.
a)
Berechnen Sie die Geschwindigkeit \(v_{\rm{0}}\) in Abhängigkeit von \(U_x\) und der spezifischen Ladung des Elektrons.
b)
Stellen Sie die Bahngleichung des Elektrons im Kondensator (\(x\)-\(y\)-System verwenden) auf.
Zeigen Sie allgemein, dass es mit der dargestellten Anordnung nicht möglich ist die spezifische Ladung des Elektrons zu bestimmen.
c)
Geben Sie die Bahngleichung des Elektrons zwischen Kondensator und Schirm an (\(x^*\)-\(y^*\)-System verwenden).
d)
Zeigen Sie allgemein, dass die Auslenkung \(y_{\rm{0}}\) von der \(x\)-Achse proportional zur Spannung \(U_y\) ist.
e)
Das Ergebnis von Teilaufgabe d) zeigt, dass die Anordnung für Spannungsmessungen geeignet ist.
Welchen Vorteil besitzt diese Anordnung gegenüber einem in Volt geeichten Drehspulinstrument?
\[\frac{1}{2} \cdot m_{\rm{e}} \cdot v_0^2 = e \cdot U_x \Leftrightarrow v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_x}{m_{\rm{e}}}} \quad (1)\]
b)
Die Bewegung der Elektronen kann zunächst getrennt für die \(x\)- und \(y\)-Richtung betrachtet werden.
In x-Richtung: Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit \(v_0\)
\[ x = v_0 \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{v_0} \quad (2)\]
In y-Richtung: gleichmäßig beschleunigte Bewegung durch die Kraft, die das elektrische Feld auf die Elektronen ausübt:
\[y = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2 \quad (3)\]
Für die \(y\)-Beschleunigung im Querfeld gilt:
\[ a_y = \frac{F_y}{m_{\rm{e}}} \Rightarrow a_y = \frac{e \cdot U_y}{m_{\rm{e}} \cdot d} \quad (4)\]
Setzt man \((2)\) in \((5)\), so folgt:
\[y = \frac{1}{2}\cdot\frac{e\cdot U_{\rm{y}}}{d\cdot m_{\rm{e}}} \cdot \frac{x^2}{v_0^2} \quad (6)\]
Dass die Bahnkurve völlig unabhängig von der spezifischen Ladung \(\frac{-e}{m_{\rm{e}}}\) ist, sieht man, wenn in \((6)\) noch der in Gleichung \((1)\) gefundene Ausruck für \(v_0\) eingesetzt wird:
\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e\cdot U_{\rm{y}}}{d \cdot m_{\rm{e}}} \cdot \frac{x^2 \cdot m_{\rm{e}}}{2 \cdot e \cdot U_{\rm{x}}} \Rightarrow y = \frac{1}{4} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d} \cdot x^2 \]
Die Bahnen von Teilchen mit verschiedenem \(\frac{-e}{m_{\rm{e}}}\) unterscheiden sich nicht, also ist die gegebene Anordnung zur Bestimmung der spezifischen Ladung nicht geeignet.
c)
Im feldfreien Raum außerhalb des Kondensators bewegen sich die Teilchen geradlinig. Es ergibt sich eine Gleichung vom Typ:
\[y^* = m \cdot x^*\]
Die Steigung \(m\) der Geraden ist die gleiche, wie die Steigung der Parabelbahn im Kondensator am Ort \(x=l\). Berechnung der Parabelsteigung am Ort \(x=l\) durch differenzieren der Bahngleichung:\[\begin{eqnarray}
y' &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d} \cdot x \\
\text{für } x = l: \quad y' &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d} \cdot l
\end{eqnarray}\]
Somit gilt für die Geradengleichung:\[\begin{eqnarray}
y^* &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d} \cdot l \cdot x^* \\
\text{für } x^* = a: \quad y^* &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d}\cdot l \cdot a
\end{eqnarray}\]
d)
Die gesamte Ablenkung \(y_{\rm{0}}\) setzt sich zusammen aus der Ablenkung \(y(l)\)nach Durchlaufen des Kondensators der Länge \(l\) und der in Teilaufgabe c) berechneten Ablenkung \(y^*(a)\) nach Durchlaufen der Strecke \(a\) zusammen. Berechnung von \(y(l)\) aus der in Teilaufgabe b) hergeleiteten Formel für \(y(l)\): \[y(l) = \frac{1}{4} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d}\cdot l^2\]
Bestimmung von \(y_{\rm{0}}\): \[\begin{eqnarray}
y_0 &=& y(l) + y^*(a) \\
y_0 &=& \frac{1}{4} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d} \cdot l^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y}{U_x \cdot d} \cdot l \cdot a \\
y_0 &=& \frac{U_y \cdot l}{4 \cdot U_x \cdot d} \cdot (l + 2a)
\end{eqnarray}\]
Aus der Formel sieht man, dass die Gesamtablenkung proportional zur Ablenkspannung \(U_y\) ist.
e)
Der Vorteil der dargestellten Anordnung ist gegenüber dem Drehspulinstrument, dass der Elektronenstrahl zeitlichen Änderungen von \(U_y\) nahezu trägheitslos folgen kann.
