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Aufgabe

Tintenstrahldrucker (Abitur BY 2005 LK A1-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einer Variante des Tintenstrahldruckverfahrens erzeugt ein Tröpfchengenerator mit einem Piezoelement kugelförmige Tintentröpfchen mit der Dichte \(\rho = 1{,}1 \cdot 10^3 \,\rm{\frac{kg}{m^3}}\), dem Radius \(20\,\mu {\rm{m}}\) und der Geschwindigkeit \({v_0} = 17\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Zwischen Düse und Ringelektrode liegt eine Spannung \({U_{\rm{L}}} = 200\,{\rm{V}}\). Beim Ablösen von der Düse erhalten die elektrisch leitenden Tröpfchen eine positive Ladung \(q = 4{,}5 \cdot {10^{ - 13}}\,{\rm{As}}\).

Nach der Ringelektrode treten die Tröpfchen in das homogene elektrische Querfeld eines Ablenkkondensators (Plattenabstand \(d = 8{,}0\,{\rm{mm}}\), Länge \(s = 2{,}0\,{\rm{cm}}\)) ein, an dessen Platten eine zwischen \(0\,\rm{kV}\) und \(3\,\rm{kV}\) einstellbare Spannung \({U_{\rm{A}}}\) liegt.

Für die Flugbahnbestimmung wird ein Kondensatorsystem eingeführt: Die \(x\)-Achse zeige in Richtung der unabgelenkten Tröpfchen, die \(y\)-Achse vertikal nach oben, der Ursprung liege beim Eintritt in das Ablenkfeld des Kondensators. Vereinfachend soll dessen Feld als homogen und auf den Innenraum beschränkt angesehen werden.

a)Erkläre anhand einer Skizze, warum die Tröpfchenladung von \({U_{\rm{L}}}\) abhängt. (4 BE)

b)Zeige, dass sich die kinetische Energie der Tröpfchen durch die Beschleunigung zwischen Düse und Ringelektrode nur unwesentlich ändert. Berechne dazu die relative Änderung der kinetischen Energie. (5 BE)

c)Berechne zunächst die Querbeschleunigung \(a_y\) für ein Tröpfchen im Ablenkkondensator. [zur Kontrolle: \(a_y = 4{,}6 \cdot 10^3 \,\rm{\frac{m}{s^2}}\)] (4 BE)

d)Beschreibe und skizziere die Bahn der Tröpfchen vom Koordinatenursprung bis zum Auftreffpunkt P auf dem Papier.

Zeige, dass bei maximaler Spannung \({U_{\rm{A}}}\) für die \(y\)-Koordinate von P gilt: \(y_{\rm{P}} =  \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \cdot \left(\frac{s}{2} + l \right)\) (12 BE)

e)Berechne, wie groß der Abstand \(l\)  sein muss , damit die maximale Buchstabengröße \(9{,}0\,\rm{mm}\) beträgt. (3 BE)

f)Berechne die vertikale Ablenkung der Tröpfchen durch Gravitation bei einer waagrechten Flugweite von \(6{,}0\,\rm{cm}\).

Erläutere, ob und gegebenenfalls wie sich diese Ablenkung auf die Schriftqualität auswirkt. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Mit zunehmender Spannung \(U_\rm{L}\) wächst die Stärke des elektrischen Feldes zwischen Düse und Ringelektrode und damit auch die Aufladung des Tropfens.

b)Das maximal aufgeladene Tröpfchen durchläuft höchstens die Spannung \(U_\rm{L}=200\,\rm{V}\).Somit gilt für die Zunahme der kinetischen Energie\[\Delta {E_{{\rm{kin}}}} \le q \cdot {U_{\rm{L}}} \Rightarrow \Delta {E_{{\rm{kin}}}} \le 4{,}5 \cdot {10^{ - 13}}\,{\rm{As}} \cdot 200\,{\rm{V}} = 9{,}0 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{J}}\]Die anfängliche kinetische Energie ist\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\]mit\[m = \rho  \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \Rightarrow m = 1{,}1 \cdot {10^3}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {20 \cdot {{10}^{ - 6}}\,{\rm{m}}} \right)^3} = 3{,}7 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{kg}}\]Damit erhält man\[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot 3{,}7 \cdot {10^{ - 11}}\,{\rm{kg}} \cdot {\left( {17\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)^2} = 5{,}3 \cdot {10^{ - 9}}\,{\rm{J}}\]Die prozentuale Zunahme der kinetischen Energie ist also\[p\%  = \frac{{\Delta {E_{{\rm{kin}}}}}}{{{E_{{\rm{kin}}}}}} \le \frac{{9{,}0 \cdot {{10}^{ - 11}}\,{\rm{J}}}}{{5{,}3 \cdot {{10}^{ - 9}}\,{\rm{J}}}} = 1{,}7\% \]Diese Änderung ist unwesentlich und wird deshalb vernachlässigt.

c)Die Anwendung des 2. NEWTON'schen Gesetzes erbringt die Beschleunigung\[{F_y} = m \cdot {a_y} \Leftrightarrow {a_y} = \frac{{{F_y}}}{m} = \frac{{q \cdot \frac{{{U_{\rm{A}}}}}{d}}}{m} \Rightarrow {a_y} = \frac{{4{,}5 \cdot {{10}^{ - 13}}\,{\rm{As}} \cdot \frac{{3{,}0 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}}}{{8{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}}}{{3{,}7 \cdot {{10}^{ - 11}}\,{\rm{kg}}}}  = 4{,}6 \cdot {10^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]

 

d)Im ersten Teil der Bahnkurve (Parabel) gilt \[x = v_0 \cdot t \Rightarrow y = \frac{a_y \cdot x^2}{2 \cdot v_0^2} \Rightarrow y_1 = \frac{a_y \cdot s^2}{2 \cdot v_0^2} \quad (1)\] \[y = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2\]Im zweiten Teil der Bahnkurve (Gerade) gilt \[\tan \left( \alpha \right) = \frac{y_P - y_1}{l} \quad (2)\]\(\tan \left( \alpha \right) \) lässt sich aus der Steigung der Parabel bei \(x = s\) berechnen: \[y'(x) = \frac{a_y \cdot x}{v_0^2} \Rightarrow y'(s) = \tan \alpha = \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \quad (3)\]Aus (2) und (3) folgt \[\frac{y_P - y_1}{l} = \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \Rightarrow y_P = \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \cdot l + y_1\]Mit (1) ergibt sich dann:\[y_P = \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \cdot l + \frac{a_y \cdot s^2}{2 \cdot v_0^2} \Rightarrow y_P = \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \cdot \left( l + \frac{s}{2} \right)\]

e)Damit ein \(9{,}0\,\rm{mm}\) großer Buchstabe geschrieben werden kann, muss \(y_P = 9{,}0\,\rm{mm}\) sein. \[y_P = \frac{a_y \cdot s}{v_0^2} \cdot \left(l + \frac{s}{2} \right) \Rightarrow l + \frac{s}{2} = \frac{y_P \cdot v_0^2}{a_y \cdot s} \Rightarrow l = \frac{y_P \cdot v_0^2}{a_y \cdot s}- \frac{s}{2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l = \frac{{9{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}} \cdot {{\left( {17\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{4{,}6 \cdot {{10}^3}\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 2{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}  - \frac{{2{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}}}{2} = 1{,}8\,{\rm{cm}}\]

f)Ablenkung durch Gravitation: \[h= \frac{g}{2} \cdot t^2 = \frac{g}{2} \cdot {\left(\frac{\Delta x}{v_0}\right)^2} \Rightarrow h = \frac{{9,8\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{2} \cdot {\left( {\frac{{0{,}060{\rm{m}}}}{{17{ \rm{\frac m {s}}}}}} \right)^2} = 6{,}1 \cdot 10^{ - 5} \rm{m}\]

Diese "Gravitationsabweichung" fällt nicht ins Gewicht.

 

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Bewegte Ladungen in Feldern