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Aufgabe

h-Bestimmung mit RÖNTGEN-Strahlung (Abitur BY 2005 GK A3-3)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Max PLANCK (1858 - 1947); unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

a)Skizzieren Sie qualitativ das typische Emissionsspektrum einer Röntgenröhre. Tragen Sie dazu die Intensität der Strahlung in Abhängigkeit von der Wellenlänge auf. (Die Betriebsspannung \(U_{\rm{B}}\) der Röhre sei so groß, dass auch die charakteristische Strahlung des Anodenmaterials auftritt.) (5 BE)

b)Aus der Grenzwellenlänge \({\lambda _{\rm{G}}}\) des kontinuierlichen Spektrums und der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) lässt sich die Planck´sche Konstante h bestimmen.

Erklären Sie zunächst, welcher Prozess zur Entstehung von Röntgenquanten mit der Wellenlänge \({\lambda _{\rm{G}}}\) führt.

Berechnen Sie Sie, welcher Wert sich für \(h\) aus den Messwerten \({U_{\rm{B}}} = 40{\rm{kV}}\) und \({\lambda _{\rm{G}}} = 31{\rm{pm}}\) ergibt. (6 BE)

c)Erklären Sie allgemein die Entstehung der \({K_{\rm{\alpha }}}\) -Linie (Wellenlänge \({\lambda _{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}\)) im Röntgenspektrum. (4 BE)

d)Untersuchen Sie, welchen Einfluss eine Erhöhung der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) auf die Werte von \({\lambda _{\rm{G}}}\) und \({\lambda _{{{\rm{K}}_{\rm{\alpha }}}}}\) hat. Begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE)

e)In Teilaufgabe b) wurde unter Verwendung von Röntgenstrahlung eine Möglichkeit zur Bestimmung der Planck'schen Konstante \(h\) betrachtet.

Erläutern Sie eine weitere experimentelle Methode zur Bestimmung von \(h\) unter Verwendung eines anderen Bereichs des elektromagnetischen Spektrums (Messverfahren, Auswertung, Berechnung von \(h\)). (9 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Das Emissionsspektrum einer Röntgenröhre besteht aus einem kontinuierlichen Anteil (Röntgenbremsspektrum) und einem Linienspektrum (charakteristische Linien).

 

b)Die von der Kathode zur Anode stark beschleunigten Elektronen werden an der Anode extrem abgebremst. Beschleunigte Ladung strahlen stets elektromagnetische Energie ab, die hier als Bremsstrahlung bezeichnet wird.

Bei der kurzwelligen Grenze des Bremskontinuums geht die gesamte kinetische Energie eines Elektron in die Energie eines Photons über (inverser Fotoeffekt).\[e \cdot {U_{\rm{B}}} = h \cdot {f_{\rm{G}}} = h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow h = \frac{{e \cdot {U_{\rm{B}}} \cdot {\lambda _{\rm{G}}}}}{c}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{{1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 40 \cdot {{10}^3}{\rm{V}} \cdot 31 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6,6 \cdot {10^{ - 34}}{\rm{Js}}\]

c)Bei Atomen höherer Ordnungszahl (aus solchen besteht die Anode einer Röntgenröhre in der Regel) sind die inneren Schalen durchweg besetzt. Wird ein K-Elektron angeregt, so muss fast bis zur Ionisierungsgrenze angehoben werden, da die L-, M- usw. Schalen schon besetzt sind. Der nun freie Platz auf der K-Schale wird nun durch ein Elektron aus einer höheren Schale wieder aufgefüllt, dabei kommt es zu Emission der charakteristischen Strahlung. Die \({K_{\rm{\alpha }}}\)-Linie entsteht, wenn die Lücke auf der K-Schale durch ein Elektron der L-Schale aufgefüllt wird.

 

d)Ein Erhöhung der Beschleunigungsspannung bedeutet eine Verkleinerung von \({{\lambda _{\rm{G}}}}\) (siehe hierzu die Herleitung von Teilaufgabe b)):\[e \cdot {U_{\rm{B}}} = h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} \Rightarrow {U_{\rm{B}}} \sim \frac{1}{{{\lambda _{\rm{G}}}}}\]Die Wellenlänge der \({K_{\rm{\alpha }}}\)-Linie bleibt gleich, da sie nur von den Eigenschaften des Anodenmaterials abhängt.

e)Eine weitere Möglichkeit der h-Bestimmung bietet die Gegenfeldmethode beim Fotoeffekt:

Auf eine Fotozelle lässt man der Reihe nach verschieden frequentes Licht treffen und stellt jeweils die Gegenspannung an der Fotozelle so ein, dass der Fotostrom zum Erliegen kommt. Die dabei registrierte Gegenspannung \(U\) ist ein Maß für die maximale kinetische Energie \(E_{{\rm{kin}}}\) der Fotoelektronen bei der jeweiligen Frequenz \(f\). Es gilt \({E_{{\rm{kin}}}} = e \cdot U\).

 

Trägt man die \(f\)-\(E_{{\rm{kin}}}\)-Wertepaare in ein Diagramm so ergibt sich eine Gerade deren Steigung die Planck’sche Konstante ist. Nach Einstein gilt \(h \cdot {f_1} = {W_0} + {E_{{\rm{kin}},1}}\quad(1)\) und \(h \cdot {f_2} = {W_0} + {E_{{\rm{kin}},2}}\quad(2)\). Dabei ist \({W_0}\) die Ablösearbeit des Kathodenmaterials. Subtrahiert man \((1)\) von \((2)\), so erhält man\[h \cdot {f_2} - h \cdot {f_1} = {W_0} + {E_{{\rm{kin}},2}} - \left( {{W_0} + {E_{{\rm{kin}},1}}} \right)\]Hieraus ergibt sich\[h \cdot {\left( {{f_2} - f} \right)_1} = {E_{{\rm{kin}},2}} - {E_{{\rm{kin}},1}}\]bzw.\[h = \frac{{\Delta {E_{{\rm{kin}}}}}}{{\Delta f}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Atomphysik

RÖNTGEN-Strahlung